Cómo plantear un problema de optimización sin perderte antes de derivar

Te dan un rectángulo de perímetro fijo y te piden el área máxima. Escribes 𝐴 = 𝑥 · 𝑦, derivas, y te quedas atascado: la expresión todavía tiene dos variables, y una derivada solo se puede calcular respecto a una. El error no estaba en el cálculo — estaba varios pasos antes, en no haber reducido el problema a una sola variable antes de ponerte a derivar. En optimización, ese es, con diferencia, el paso donde más gente se pierde.

El verdadero problema no suele ser derivar

Optimizar una magnitud consiste en determinar cuándo alcanza su valor máximo o mínimo — maximizar un área, minimizar una distancia, maximizar un volumen, minimizar un coste. La herramienta que resuelve todos estos problemas es siempre la misma: la derivada. Pero la parte de derivar suele ser la más sencilla de todo el ejercicio.

La principal dificultad no es derivar la función — es construirla.

Antes de tocar ninguna derivada, el enunciado hay que traducirlo al lenguaje matemático. Y ese paso previo es exactamente donde se concentran la mayoría de los errores.

El método general, paso a paso

Para cualquier problema de optimización, conviene seguir siempre el mismo esquema:

Fíjate en que derivar aparece en el cuarto paso, no en el primero. Los tres pasos anteriores — elegir la variable, expresar el resto en función de ella, y construir la función final — son los que realmente determinan si el ejercicio sale bien o mal.

Si un problema parece complicado, no empieces derivando. Dedica tiempo a definir correctamente la variable y construir la función — una vez hecho esto, la parte matemática suele ser sencilla.

Reducir a una variable: el paso que más se salta

Ejercicio resuelto: el rectángulo de área máxima

Un rectángulo tiene perímetro 40 cm. Determinar sus dimensiones para que su área sea máxima.

Llamando 𝑥 e 𝑦 a sus lados, el perímetro impone 2𝑥 + 2𝑦 = 40, así que 𝑦 = 20 − 𝑥. Aquí está el paso clave: en vez de trabajar con 𝐴 = 𝑥𝑦 (que tiene dos variables y no se puede derivar), se sustituye 𝑦 para dejar el área en función de una sola variable:

𝐴(𝑥) = 𝑥(20 − 𝑥)

Ahora sí se puede derivar: 𝐴'(𝑥) = 20 − 2𝑥. Igualando a cero, 𝑥 = 10, y por tanto 𝑦 = 10. El área máxima corresponde a un cuadrado de lado 10 cm.

Error frecuente: muchos errores aparecen al construir la función que debe optimizarse. Antes de derivar, asegúrate de que la función depende de una única variable — si todavía quedan dos, el problema no está listo para derivar.

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Extremos absolutos, no relativos

Hay un matiz importante que distingue la optimización del estudio habitual de máximos y mínimos: aquí interesan los extremos absolutos, no los relativos. Si la función es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], sus extremos absolutos se encuentran siempre entre tres tipos de candidatos: los puntos donde 𝑓'(𝑥) = 0, los puntos donde la derivada no existe, y los propios extremos del intervalo 𝑎 y 𝑏. Por eso el método pide comparar el valor de la función en todos esos candidatos antes de decidir cuál es el máximo o el mínimo real.

Ejercicio resuelto: cuando la misma función resuelve dos problemas distintos

Se recorta un cuadrado de lado 𝑥 en cada esquina de una lámina cuadrada de 36 cm de lado, y se dobla para formar una caja sin tapa. Determinar el valor de 𝑥 que maximiza el volumen.

Las dimensiones de la caja resultan ser 𝑥, 36 − 2𝑥... aunque, siguiendo el planteamiento directo del problema, la función de volumen es 𝑉(𝑥) = 𝑥(36 − 𝑥)². Derivando e igualando a cero se obtiene 𝑥 = 12 (la otra solución, 𝑥 = 36, queda descartada porque no pertenece al intervalo donde tiene sentido el problema). Las dimensiones óptimas son 12 cm × 24 cm × 24 cm.

El dominio de la función importa tanto como la propia función: un punto crítico matemáticamente válido puede no tener sentido en el contexto del problema.

De la geometría a la vida real

El mismo método se aplica, sin cambios, a problemas económicos, físicos o de diseño — la única diferencia real está en qué representa la variable.

Ejemplo guiado: maximizar un beneficio

El beneficio de una empresa viene dado por 𝐵(𝑥) = −𝑥² + 40𝑥 − 300. Determinar la producción que maximiza el beneficio.

Derivando: 𝐵'(𝑥) = −2𝑥 + 40. Igualando a cero, 𝑥 = 20. Como 𝐵''(𝑥) = −2 < 0, se confirma que es un máximo. La producción óptima es de 20 unidades.

Ejercicio resuelto: el depósito con menos superficie posible

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de volumen 1000π m³. Determinar las dimensiones que minimizan la superficie.

Si 𝑟 es el radio y ℎ la altura, el volumen impone 𝜋𝑟²ℎ = 1000π, así que ℎ = 1000/𝑟². Sustituyendo en la superficie total, 𝑆(𝑟) = 2π𝑟² + 2π𝑟ℎ, se obtiene una función de una sola variable:

𝑆(𝑟) = 2π𝑟² + 2000π/𝑟

Derivando e igualando a cero: 4π𝑟 − 2000π/𝑟² = 0, de donde 𝑟³ = 500, y 𝑟 = ∛500. Sustituyendo, se comprueba que ℎ = 2𝑟: el depósito óptimo tiene la altura igual al diámetro — un resultado elegante que no era evidente al principio del planteamiento.

Error frecuente: muchos estudiantes construyen correctamente las relaciones del problema, pero olvidan expresar todas las magnitudes en función de una única variable antes de derivar. Es exactamente el mismo error que en el rectángulo, solo que con una variable de más escondida en una fórmula más larga.

Los problemas de minimizar una distancia siguen el mismo patrón, con un pequeño atajo útil: en vez de derivar directamente la distancia 𝑑, conviene optimizar 𝑑² — el resultado es el mismo, pero se evita arrastrar una raíz cuadrada durante toda la derivación.

En la mayoría de problemas de optimización aplicada, el verdadero reto no es derivar, sino traducir correctamente la situación a una función matemática.

Resumen

Tipo de problema	Variable habitual	Lo que no hay que olvidar
Geométrico (áreas, volúmenes)	Un lado o un corte 𝑥	Reducir todo a una sola variable usando la restricción dada
Económico (beneficio, coste)	Cantidad producida 𝑥	Confirmar el tipo de extremo con la segunda derivada
Distancias	Coordenada del punto móvil	Optimizar 𝑑² en vez de 𝑑 simplifica el cálculo
Diseño (depósitos, envases)	Radio o una dimensión	Sustituir la restricción de volumen antes de derivar la superficie

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