El método definitivo para representar cualquier función paso a paso

Te piden representar una función y tu primer instinto es calcular un montón de valores: 𝑓(−3), 𝑓(−2), 𝑓(−1), 𝑓(0)... y así hasta tener suficientes puntos para unir con una línea. Funciona, más o menos, pero es lento, poco fiable, y se te pueden escapar detalles importantes entre un punto y el siguiente — una asíntota, un máximo, un cambio de curvatura. Representar una función bien no consiste en acumular puntos: consiste en hacer las preguntas correctas, en el orden correcto, y dejar que las respuestas construyan la gráfica por ti.

Las siete preguntas que responden casi todo

Antes de dibujar cualquier función, conviene responder siempre esta misma lista:

1. ¿Cuál es su dominio?

2. ¿Tiene simetrías o periodicidad?

3. ¿Dónde corta a los ejes?

4. ¿Tiene asíntotas?

5. ¿Dónde crece y decrece?

6. ¿Tiene máximos o mínimos?

7. ¿Tiene puntos de inflexión?

Las respuestas a estas siete preguntas contienen casi toda la información necesaria para construir la gráfica — sin necesidad de tabular decenas de valores sueltos.

El método completo, en diez pasos

Convertido en un procedimiento ordenado, este es el esquema que conviene seguir siempre:

1. Determinar el dominio.

2. Estudiar posibles simetrías y periodicidad.

3. Calcular los puntos de corte con los ejes.

4. Analizar las asíntotas y las ramas infinitas.

5. Estudiar la monotonía mediante la primera derivada.

6. Determinar máximos y mínimos relativos.

7. Estudiar la concavidad mediante la segunda derivada.

8. Localizar los puntos de inflexión.

9. Obtener puntos adicionales si son necesarios.

10. Construir el boceto final.

No todos los ejercicios requieren completar los diez pasos. Una función polinómica no tiene asíntotas; en una función periódica no suele hacer falta estudiar qué ocurre cuando 𝑥 tiende a infinito. El método es una guía, no una lista obligatoria en todos los casos — pero conviene recorrerla siempre en el mismo orden, para no dejarte nada importante por el camino.

Por dónde empezar siempre: el dominio

Uno de los errores más frecuentes consiste en empezar a derivar sin haber estudiado antes el dominio o las posibles discontinuidades. El dominio determina dónde puede existir la gráfica — no tiene sentido estudiar extremos, asíntotas o puntos de inflexión en valores que ni siquiera pertenecen al dominio.

Si no sabes cómo empezar un ejercicio de representación, empieza siempre por ahí. A partir del dominio surgen de forma natural varias preguntas: ¿existen discontinuidades?, ¿puede haber asíntotas verticales?, ¿está definida la función en 𝑥 = 0?, ¿presenta alguna simetría? Responder a estas preguntas ordena el resto del estudio.

Ejemplo guiado: hallar dominios con restricciones combinadas

Halla el dominio de 𝑦 = ln(3 − √(25 − 𝑥²)).

Aquí hay que imponer dos condiciones a la vez: la raíz exige 25 − 𝑥² ≥ 0, es decir, −5 ≤ 𝑥 ≤ 5. El logaritmo exige, además, que su argumento sea positivo: 3 − √(25 − 𝑥²) > 0, lo que tras despejar equivale a 𝑥² > 16, es decir, 𝑥 < −4 o 𝑥 > 4. Intersectando ambas condiciones:

𝐷 = [−5, −4) ∪ (4, 5]

📩 Si este tipo de dominio con dos restricciones combinadas te resulta útil, la newsletter trae justo este tipo de ejercicios cada dos semanas: una idea matemática, un ejercicio interesante y un recurso útil, en 3-5 minutos de lectura. Suscríbete aquí →

Simetrías: la mitad del trabajo, gratis

Antes de calcular una sola derivada, merece la pena comprobar si la función es par o impar. Una función es par si 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 de su dominio — su gráfica es simétrica respecto al eje 𝑌. Es impar si 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) — su gráfica es simétrica respecto al origen. Son funciones pares, por ejemplo, cos 𝑥, 𝑥² o 𝑥⁴ − 3𝑥² + 1; son impares sen 𝑥, 𝑥³ o 𝑥⁵ − 2𝑥.

Detectar una simetría no es un detalle decorativo: significa que solo necesitas estudiar la mitad de la función — el resto se obtiene reflejando la gráfica.

El ejercicio completo: aplicando el método paso a paso

Vamos a ver el método en acción, sobre una función que reúne varios de los elementos típicos.

Ejercicio resuelto: representar una función racional completa

Representa de forma aproximada 𝑓(𝑥) = 𝑥² / (𝑥² − 1).

Dominio. El denominador se anula en 𝑥 = ±1, así que 𝐷 = ℝ − {−1, 1}.

Simetría. 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)²/((−𝑥)²−1) = 𝑥²/(𝑥²−1) = 𝑓(𝑥): la función es par, simétrica respecto al eje 𝑌.

Cortes con los ejes. 𝑓(𝑥) = 0 exige 𝑥² = 0, así que corta al eje 𝑋 en (0, 0) — y como 𝑓(0) = 0, ese mismo punto es también el corte con el eje 𝑌.

Asíntotas. Hay asíntotas verticales en 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1 (las discontinuidades del dominio). Calculando el límite en el infinito, dividiendo numerador y denominador entre 𝑥², se obtiene 1: hay una asíntota horizontal en 𝑦 = 1.

Monotonía. Derivando, 𝑓'(𝑥) = −2𝑥/(𝑥²−1)². El denominador siempre es positivo, así que el signo depende solo de −2𝑥: la función crece en (−∞,−1) y en (−1,0), y decrece en (0,1) y en (1,+∞).

Extremos. En 𝑥 = 0 la función pasa de creciente a decreciente: hay un máximo relativo en (0, 0).

Concavidad. La segunda derivada, 𝑓''(𝑥) = 2(3𝑥²+1)/(𝑥²−1)³, tiene numerador siempre positivo, así que el signo depende del denominador: convexa en (−∞,−1)∪(1,+∞), cóncava en (−1,1). No hay puntos de inflexión, porque los cambios de signo ocurren en 𝑥 = ±1, que no pertenecen al dominio.

Boceto final. Reuniendo todo: dominio ℝ−{−1,1}, función par, único corte en (0,0), asíntotas verticales en 𝑥=±1, asíntota horizontal en 𝑦=1, máximo relativo en (0,0), sin inflexión.

Fíjate en algo importante: en ningún momento hemos calculado una tabla extensa de valores. La forma de la gráfica se obtiene combinando la información de los límites y las derivadas — no de sustituir números al azar.

Otro ejemplo igual de completo es 𝑓(𝑥) = ln(𝑥)/𝑥: tiene dominio (0,+∞), una asíntota vertical en 𝑥=0, una horizontal en 𝑦=0, un máximo relativo en (𝑒, 1/𝑒), y un punto de inflexión en (𝑒^(3/2), 3/(2𝑒^(3/2))) — reúne casi todos los elementos de una representación completa en una sola función.

Las excepciones que conviene vigilar

Las funciones habituales de Selectividad suelen ser continuas y derivables en todo su dominio, pero existen excepciones frecuentes que conviene reconocer a simple vista: las funciones con valor absoluto suelen presentar puntos angulosos (como 𝑓(𝑥) = |𝑥²−4| en 𝑥 = ±2), y las funciones radicales pueden presentar tangentes verticales en los puntos donde el radicando se anula. Las funciones definidas a trozos, además, siempre requieren comprobar explícitamente la continuidad y la derivabilidad en los puntos de unión.

Resumen

Paso del método	Qué aporta a la gráfica
Dominio	Dónde puede existir la función
Simetrías y periodicidad	Reduce el trabajo a la mitad (o menos)
Cortes con los ejes	Puntos de anclaje inmediatos
Asíntotas	El "esqueleto" que guía las ramas infinitas
Monotonía (1ª derivada)	Dónde crece y decrece
Concavidad (2ª derivada)	La forma de la curva entre los tramos

¿Quieres ir más allá de la teoría? Si prefieres un ritmo completamente adaptado a ti, en las clases particulares el seguimiento es individual y personalizado, centrado en tus dudas concretas. Y si prefieres preparar la Selectividad en grupo, con contenido guiado y otros alumnos, el Club Selectividad es la otra opción.