Indeterminaciones: de la sustitución algebraica a la regla de L'Hôpital

Ves una fracción con "infinito arriba e infinito abajo", te acuerdas de L'Hôpital, derivas numerador y denominador sin pensarlo más, y sigues adelante. El problema es que muchas veces ni siquiera hacía falta L'Hôpital — y otras veces, peor aún, la expresión no era del tipo que L'Hôpital puede resolver directamente. Antes de aplicar cualquier herramienta hay un paso que casi nadie se salta con cuidado: comprobar qué tipo de indeterminación tienes delante, y si de verdad lo es.

Qué es (y qué no es) una indeterminación

Cuando calculas un límite, lo normal es sustituir el valor al que tiende la variable y aplicar las propiedades habituales. La mayoría de las veces esto resuelve el límite sin más. El problema aparece cuando la sustitución produce una expresión ambigua, como 0/0 o ∞ − ∞: en esos casos, el resultado no puede deducirse solo con la información que tienes, y hace falta investigar más.

Para verlo claro, toma tres funciones: 𝑓(𝑥) = 𝑥³, 𝑔(𝑥) = 𝑥² + 5 y ℎ(𝑥) = 𝑥². Las tres tienden a +∞ cuando 𝑥 → +∞. Si restas cualquier par de ellas, partes siempre de la misma forma aparente: (+∞) − (+∞). Pero mira lo que ocurre según qué funciones restes:

• 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) tiende a +∞.

• 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) tiende a −∞.

• 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) es constante: siempre vale 5.

Tres restas, misma forma de partida "(+∞) − (+∞)", tres resultados distintos. Eso es exactamente lo que hace que sea una indeterminación: la expresión (+∞) − (+∞) no fija un resultado por sí sola, porque depende de la velocidad relativa con la que crece cada función.

Una indeterminación no es un resultado. Es una señal de que hace falta seguir investigando.

Error frecuente: muchos estudiantes creen que una indeterminación significa que el límite no existe. No es cierto. Una indeterminación únicamente indica que la información disponible es insuficiente para determinar el resultado — el límite puede existir, no existir o incluso ser infinito.

De hecho, no toda expresión con infinitos es indeterminada. (+∞) + (+∞) da +∞ sin ningún problema, y 5/(+∞) da 0 directamente. Las formas realmente indeterminadas son unas pocas y conviene reconocerlas de un vistazo: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞, 0⁰ y ∞⁰. En Selectividad, las tres primeras son, con diferencia, las más habituales.

La indeterminación 0/0: factorizar antes de nada

Aparece casi siempre en cocientes de polinomios, cuando numerador y denominador se anulan a la vez en el punto. La técnica que la resuelve casi siempre es la misma: factorizar y simplificar.

Calcula:

lím (𝑥→2) (𝑥² − 4)/(𝑥² + 3𝑥 − 10)

Al sustituir 𝑥 = 2 obtienes 0/0. Factorizando numerador y denominador:

𝑥² − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑥² + 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 5)

El factor (𝑥 − 2) se cancela, y el límite se calcula sobre la fracción ya simplificada:

¿Por qué funciona esto? Porque cuando aparece un factor común (𝑥 − 𝑐) en numerador y denominador, la fracción puede simplificarse para todos los valores 𝑥 ≠ 𝑐 — y el límite estudia precisamente qué ocurre cuando 𝑥 se acerca a 𝑐, no cuando vale exactamente 𝑐. Por eso, aunque la función original ni siquiera esté definida en ese punto, el límite puede existir perfectamente.

Esta idea conecta directamente con algo que ya viste: el límite describe qué ocurre cerca de un punto, no en él.

El procedimiento, resumido, es siempre el mismo: sustituye; si el denominador no se anula, ya tienes el resultado; si aparece 0/0, factoriza numerador y denominador, simplifica los factores comunes y vuelve a calcular.

Error frecuente: solo pueden simplificarse factores completos, nunca términos sueltos. (𝑥² − 4)/(𝑥 − 2) se simplifica sin problema porque 𝑥² − 4 se factoriza como (𝑥−2)(𝑥+2). Pero en una expresión como (𝑥² − 4 + 𝑥)/(𝑥 − 2), el término 𝑥 no se puede cancelar sin más: no forma parte de un factor común.

📩 Si te está costando ver la diferencia entre "cancelar un factor" y "cancelar un término suelto", te va a venir bien la newsletter: cada dos semanas mando una idea matemática, un ejercicio interesante y un recurso útil — 3-5 minutos de lectura. Suscríbete aquí →

La indeterminación ∞ − ∞: racionalizar cuando hay raíces

Cuando la resta que tiende a ∞ − ∞ incluye raíces cuadradas, factorizar ya no sirve. La técnica que sí funciona es multiplicar y dividir por la expresión conjugada, para convertir la resta en una fracción.

Calcula:

lím (𝑥→+∞) (√(𝑥² − 𝑥) − 𝑥)

Al sustituir obtienes (+∞) − (+∞): indeterminación confirmada. Multiplicando y dividiendo por la conjugada (√(𝑥² − 𝑥) + 𝑥) y aplicando diferencia de cuadrados, la resta se convierte en una fracción que, tras dividir numerador y denominador entre 𝑥, da un resultado concreto:

Cuando aparezca una diferencia de raíces con indeterminación ∞ − ∞, la racionalización debe ser tu primera opción.

Error frecuente: racionalizar correctamente y luego olvidarse de dividir entre la máxima potencia de 𝑥. Ese último paso es el que de verdad permite calcular el límite — sin él, sigues teniendo una expresión con infinitos sin resolver.

Cuando ni factorizar ni racionalizar bastan: la regla de L'Hôpital

Hay límites donde estas técnicas resultan insuficientes o demasiado laboriosas — por ejemplo, cuando aparecen exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas mezcladas con polinomios. Ahí es donde entra la regla de L'Hôpital.

Dicho con palabras: si al sustituir obtienes 0/0 o ∞/∞, puedes sustituir el límite original por el límite del cociente de las derivadas de numerador y denominador — y repetir el proceso tantas veces como haga falta, mientras la indeterminación persista.

Un par de ejemplos rápidos:

• lím (𝑥→0) (𝑒ˣ − 1)/𝑥 da 0/0. Derivando arriba y abajo: lím (𝑥→0) 𝑒ˣ/1 = 1.

• lím (𝑥→∞) (ln 𝑥)/𝑥 da ∞/∞. Derivando: lím (𝑥→∞) (1/𝑥)/1 = 0.

A veces una sola aplicación no basta y sigue apareciendo la misma forma indeterminada. En ese caso, se aplica la regla otra vez sobre el nuevo límite, y así hasta que desaparezca.

La regla de L'Hôpital no elimina la indeterminación por arte de magia: simplemente la sustituye por otro límite, normalmente más manejable.

Error frecuente: la regla de L'Hôpital solo puede utilizarse cuando aparece una indeterminación de tipo 0/0 o ∞/∞. Antes de derivar, comprueba siempre qué forma indeterminada tienes delante — muchos errores en Selectividad vienen de aplicar la regla sin verificar antes esta condición. Si tienes 0·∞ o ∞ − ∞, primero hay que transformar la expresión en un cociente; solo entonces puedes aplicar L'Hôpital sobre ese cociente.

Cómo elegir entre las técnicas

Con tres herramientas distintas disponibles, la pregunta natural es cuál usar primero. La respuesta no es "siempre L'Hôpital", aunque sea la más vistosa: en muchos ejercicios, factorizar, racionalizar o usar equivalencias infinitesimales resuelve el límite más rápido y con menos cálculo. Antes de derivar nada, pregúntate si hay una técnica más sencilla disponible. Dominar las tres te permite elegir la más eficiente en cada situación, en lugar de aplicar la misma por costumbre.

Este mismo cálculo del límite en el infinito reaparecerá cuando estudies las asíntotas de una función.

Resumen

Indeterminación	Técnica principal	Cuándo aplicar L'Hôpital
0/0 en cociente de polinomios	Factorizar y simplificar	Si factorizar resulta muy laborioso
∞ − ∞ con raíces	Racionalizar (multiplicar por la conjugada)	Tras transformarla en un cociente 0/0 o ∞/∞
∞/∞	Dividir por la mayor potencia, o L'Hôpital directamente	Sí, es una de sus dos formas válidas
0·∞	Reescribir como cociente	Sí, una vez convertida en 0/0 o ∞/∞

¿Quieres ir más allá de la teoría? Si prefieres un ritmo completamente adaptado a ti, en las clases particulares el seguimiento es individual y personalizado, centrado en tus dudas concretas. Y si prefieres preparar la Selectividad en grupo, con contenido guiado y otros alumnos, el Club Selectividad es la otra opción.