Monotonía, extremos y concavidad: por qué una derivada que se anula no es un máximo garantizado

Calculas la derivada, la igualas a cero, resuelves la ecuación, y das por hecho que ahí hay un máximo o un mínimo. En muchos ejercicios funciona. Pero toma la función 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴ − 4𝑥³: su derivada se anula en 𝑥 = 0 exactamente igual que en 𝑥 = 3 — y sin embargo, solo uno de esos dos puntos es un extremo real. El otro es, sencillamente, un momento en el que la función se detiene un instante y sigue decreciendo como si nada. Sin comprobar el cambio de signo, es imposible distinguir uno del otro.

Por qué el signo de la derivada, y no solo su valor, es lo que importa

La derivada te dice si una función crece o decrece: si 𝑓'(𝑥) > 0, la función crece; si 𝑓'(𝑥) < 0, decrece. Pero cuando 𝑓'(𝑥) = 0 en un punto concreto, no puede concluirse nada únicamente a partir de ese dato. Que la derivada sea cero no implica, por sí solo, la existencia de un máximo o un mínimo.

Ejemplo guiado: construir la tabla de signos

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 6𝑥² + 5.

Derivando: 𝑓'(𝑥) = 3𝑥² − 12𝑥 = 3𝑥(𝑥 − 4). Los puntos críticos son 𝑥 = 0 y 𝑥 = 4. Estudiando el signo de 𝑓'(𝑥) en cada tramo:

𝑥	(−∞, 0)	(0, 4)	(4, +∞)
𝑓'(𝑥)	+	−	+

La función es creciente en (−∞, 0), decreciente en (0, 4), y vuelve a crecer en (4, +∞).

La herramienta fundamental no es resolver 𝑓'(𝑥) = 0 — es construir correctamente la tabla de signos de la derivada.

Puntos críticos: necesarios, pero no suficientes

Un punto crítico es un punto donde 𝑓'(𝑥) = 0, o donde la derivada no existe. Los máximos y mínimos relativos solo pueden aparecer ahí — pero eso no significa que todo punto crítico sea automáticamente un extremo.

Todos los extremos relativos son puntos críticos. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos relativos.

Para clasificar un punto crítico se usa el criterio de la primera derivada: si 𝑓' pasa de positiva a negativa, hay un máximo relativo; si pasa de negativa a positiva, hay un mínimo relativo; y si no cambia de signo, no hay ningún extremo ahí, por mucho que la derivada se anule.

Ejercicio resuelto: cuando un punto crítico no es un extremo

Estudiar la monotonía y los extremos relativos de 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴ − 4𝑥³.

Derivando: 𝑓'(𝑥) = 4𝑥³ − 12𝑥² = 4𝑥²(𝑥 − 3). Los puntos críticos son 𝑥 = 0 y 𝑥 = 3. Construyendo la tabla de signos:

𝑥	(−∞, 0)	(0, 3)	(3, +∞)
𝑓'(𝑥)	−	−	+

En 𝑥 = 0 el signo se mantiene negativo a ambos lados — no hay cambio, así que no existe extremo ahí, a pesar de que 𝑓'(0) = 0. En 𝑥 = 3, el signo pasa de − a +, así que ahí sí hay un mínimo relativo: como 𝑓(3) = 81 − 108 = −27, el mínimo es (3, −27).

Error frecuente: un error muy habitual consiste en afirmar que existe un máximo o un mínimo simplemente porque 𝑓'(𝑥) = 0. Antes de concluir nada, debe comprobarse cómo cambia el signo de la derivada a ambos lados del punto crítico.

📩 Si este ejemplo te ha hecho dudar de algún ejercicio que dabas por resuelto, la newsletter trae justo este tipo de matices cada dos semanas: una idea matemática, un ejercicio interesante y un recurso útil, en 3-5 minutos de lectura. Suscríbete aquí →

El criterio de la segunda derivada: un atajo, no siempre disponible

Existe una alternativa al estudio del signo, que en muchos casos resulta más rápida: si 𝑥₀ es un punto crítico (𝑓'(𝑥₀) = 0), entonces mirar el signo de la segunda derivada en ese punto también permite clasificarlo.

Pero este atajo tiene un límite claro: si 𝑓''(𝑥₀) = 0, el criterio no permite extraer ninguna conclusión, y hay que volver al estudio del signo de la primera derivada. No es un sustituto universal — es un método adicional que funciona solo cuando la segunda derivada no se anula también.

La segunda derivada y la forma de la curva

Así como la primera derivada describe cómo cambia la función, la segunda derivada describe cómo cambia la propia pendiente — es decir, la curvatura de la gráfica. Si la recta tangente queda por debajo de la curva, la función es cóncava; si queda por encima, es convexa; y si la tangente atraviesa la gráfica, ahí hay un punto de inflexión.

El criterio es simétrico al de monotonía: si 𝑓''(𝑥) > 0, la función es cóncava; si 𝑓''(𝑥) < 0, es convexa.

Ejemplo guiado: estudiar la curvatura

Estudiar la curvatura de 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 3𝑥².

Calculando las derivadas: 𝑓'(𝑥) = 3𝑥² + 6𝑥, y 𝑓''(𝑥) = 6𝑥 + 6. Igualando a cero: 𝑥 = −1. Estudiando el signo de 𝑓''(𝑥):

𝑥	(−∞, −1)	(−1, +∞)
𝑓''(𝑥)	−	+

La función es convexa en (−∞, −1) y cóncava en (−1, +∞). Como la segunda derivada cambia de signo, existe un punto de inflexión en 𝑥 = −1; calculando 𝑓(−1) = 2, el punto de inflexión es (−1, 2).

El error gemelo: 𝑓''(𝑥) = 0 tampoco garantiza un punto de inflexión

Igual que ocurría con la primera derivada y los extremos, aquí aparece exactamente el mismo problema: que la segunda derivada se anule en un punto no es, por sí solo, garantía de nada.

La condición 𝑓''(𝑥₀) = 0 no garantiza la existencia de un punto de inflexión. Es imprescindible comprobar que la segunda derivada cambia de signo a ambos lados del punto.

Si 𝑓'' se anula en un punto pero mantiene el mismo signo a ambos lados, ese punto no es una inflexión — es, simplemente, un punto donde la curvatura se detiene un instante sin llegar a cambiar de tipo. El procedimiento correcto es siempre el mismo que con los extremos: localizar los candidatos resolviendo 𝑓''(𝑥) = 0, y después verificar el cambio de signo antes de dar nada por concluido.

Resumen

Concepto	Condición necesaria	Condición que confirma
Máximo o mínimo relativo	𝑓'(𝑥₀) = 0 (punto crítico)	La derivada cambia de signo a ambos lados
Clasificación rápida (alternativa)	𝑓'(𝑥₀) = 0	𝑓''(𝑥₀) > 0 → mínimo; 𝑓''(𝑥₀) < 0 → máximo
Punto de inflexión	𝑓''(𝑥₀) = 0 (candidato)	La segunda derivada cambia de signo a ambos lados

¿Quieres ir más allá de la teoría? Si prefieres un ritmo completamente adaptado a ti, en las clases particulares el seguimiento es individual y personalizado, centrado en tus dudas concretas. Y si prefieres preparar la Selectividad en grupo, con contenido guiado y otros alumnos, el Club Selectividad es la otra opción.