Aplicaciones geométricas de la integral: áreas, área entre curvas y volúmenes de revolución

Te piden el área entre una curva y el eje 𝑋, calculas la integral definida directamente, y entregas ese número como respuesta. El problema es que, si la función cruza el eje en algún punto del intervalo, ese número no es el área — es la resta entre una región y otra. Ya viste en el artículo anterior por qué una integral puede dar negativo; ahora toca la consecuencia práctica: cómo calcular área de verdad, área entre curvas, y el volumen de los sólidos que se generan al girar una función alrededor de un eje.

Área real: por qué hay que buscar las raíces primero

La integral ∫ᵇₐ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 representa una suma algebraica: las zonas por encima del eje 𝑋 aportan área positiva, y las de abajo, negativa. Cuando la función cambia de signo, esas regiones pueden compensarse — y el resultado deja de coincidir con el área geométrica real.

El método correcto tiene siempre los mismos pasos: resolver 𝑓(𝑥) = 0, localizar las raíces dentro del intervalo, dividirlo en los subintervalos que esas raíces determinan, calcular la integral en cada uno, y sumar los valores absolutos.

Ejercicio resuelto: área con cambio de signo

Calcula el área comprendida entre 𝑦 = 𝑥³−𝑥 y el eje 𝑋 en el intervalo [0, 2].

Resolviendo 𝑥³−𝑥 = 0, se obtiene 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) = 0; la única raíz dentro de [0,2] es 𝑥 = 1. Eso divide el intervalo en [0,1] y [1,2]. Con la primitiva 𝐺(𝑥) = 𝑥⁴/4 − 𝑥²/2, la integral en el primer tramo da −1/4, y en el segundo, 9/4.

Sumando los valores absolutos, |−1/4| + |9/4| = 10/4 = 5/2:

Error frecuente: calcular directamente ∫ᵇₐ𝑓(𝑥)𝑑𝑥 y afirmar que ese valor es el área. Si la función cambia de signo, es imprescindible separar los intervalos o utilizar valores absolutos.

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Área entre curvas: la misma idea, con una resta de por medio

Cuando el área está delimitada por dos funciones en vez de por el eje 𝑋, la fórmula cambia ligeramente: si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) en todo el intervalo, el área es la integral de su diferencia.

La razón es sencilla: la distancia vertical entre ambas curvas, 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), actúa como la altura de cada rectángulo diferencial. El método tiene cuatro pasos: hallar los puntos de corte entre las curvas, determinar cuál es la superior y cuál la inferior, integrar su diferencia, y sumar si hay varios tramos.

Ejemplo guiado: el área entre dos parábolas conocidas

Calcula el área entre 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥² en el intervalo [0, 1].

En ese intervalo, 𝑥 ≥ 𝑥², así que el área es ∫¹₀(𝑥−𝑥²)𝑑𝑥 = [𝑥²/2 − 𝑥³/3] entre 0 y 1, lo que da 1/2 − 1/3 = 1/6.

Error frecuente: olvidar determinar cuál es la función superior. La fórmula correcta es siempre superior menos inferior, y no al revés — invertir el orden cambia el signo de todo el resultado.

Volúmenes de revolución: por qué aparece el cuadrado

Si haces girar la región comprendida entre una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), el eje 𝑋 y dos rectas verticales, alrededor del eje 𝑋, se genera un cuerpo de revolución. Dividiendo el intervalo en franjas muy finas, cada una se aproxima a un cilindro de radio 𝑓(𝑥) — y el área de ese disco circular es 𝜋[𝑓(𝑥)]². Sumando (e integrando) todos esos discos:

El cuadrado aparece porque cada sección perpendicular al eje de giro es un disco circular, y el área de un círculo depende del cuadrado de su radio — no porque sea una regla arbitraria que memorizar.

Este tipo de cálculo de volumen conecta con el problema del depósito cilíndrico que optimizamos en el artículo de optimización.

Ejercicio resuelto: calcular un volumen de revolución

Calcula el volumen generado al girar 𝑦 = √𝑥 alrededor del eje 𝑋 entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 4.

Como (√𝑥)² = 𝑥, la integral se simplifica enormemente:

Este mismo método, aplicado a la recta 𝑦 = (𝑟/ℎ)𝑥 girando entre 0 y ℎ, permite deducir la fórmula clásica del volumen de un cono: 𝑉 = (1/3)𝜋𝑟²ℎ — la misma que seguramente ya conocías de geometría, pero obtenida aquí directamente a partir de una integral.

Cuando hay dos curvas: el método de la arandela

Si la región que gira está limitada por dos funciones, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ≥ 0, cada sección transversal ya no es un disco macizo, sino una arandela: un círculo con un hueco en el centro. El radio exterior es 𝑓(𝑥), el interior es 𝑔(𝑥), y el volumen se calcula restando sus áreas:

𝑉 = 𝜋 ∫ᵇₐ ([𝑓(𝑥)]² − [𝑔(𝑥)]²) 𝑑𝑥

Ejercicio resuelto: volumen con un hueco interior

Calcula el volumen generado al girar, alrededor del eje 𝑋, la región comprendida entre 𝑦 = 2 e 𝑦 = 𝑥 en el intervalo [0, 2].

El radio exterior es 𝑅(𝑥) = 2, y el interior, 𝑟(𝑥) = 𝑥. Aplicando la fórmula de la arandela:

En los volúmenes de revolución, distingue siempre entre disco (cuando la región llega hasta el eje de giro) y arandela (cuando queda un hueco interior) — usar la fórmula equivocada es el error más habitual en este tipo de ejercicios.

Resumen

Situación	Fórmula	Lo esencial
Área entre curva y eje X	𝐴 = ∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥, por tramos	Localizar las raíces antes de integrar
Área entre dos curvas	𝐴 = ∫(superior − inferior)𝑑𝑥	Determinar bien cuál función va primero
Volumen (disco)	𝑉 = 𝜋∫[𝑓(𝑥)]²𝑑𝑥	El cuadrado viene del área de un círculo
Volumen (arandela)	𝑉 = 𝜋∫([𝑓(𝑥)]²−[𝑔(𝑥)]²)𝑑𝑥	Solo cuando hay un hueco interior

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