Qué es realmente una derivada: pendiente, recta tangente y recta normal

Te dan una gráfica y te preguntan cuánto vale la función en un punto. Miras la altura de la curva y respondes. Después te preguntan cuánto vale la derivada en ese mismo punto — y das exactamente la misma respuesta, la altura, sin darte cuenta de que te están preguntando otra cosa completamente distinta: la inclinación de la curva ahí, no dónde está. Confundir 𝑓(𝑎) con 𝑓'(𝑎) es, probablemente, el error más básico y más repetido de toda la unidad de derivadas — y entender por qué son cosas distintas es la puerta de entrada a todo lo demás.

Qué mide realmente una derivada

Todo parte de una pregunta muy natural: ¿cómo cambia una magnitud respecto a otra? La velocidad de un coche describe cómo cambia la posición con el tiempo; la pendiente de una carretera describe cómo cambia la altura con la distancia recorrida. Cuando la variable 𝑥 pasa de un valor 𝑥₀ a 𝑥₀ + ℎ, el cociente entre cuánto cambia la función y cuánto cambia la variable se llama tasa de variación media — y geométricamente es la pendiente de la recta secante que une los dos puntos de la curva.

El problema es que esa tasa media depende de qué tan separados estén los dos puntos. Para conocer el crecimiento exactamente en un punto, hay que hacer que esa separación se reduzca a cero. Cuando ℎ tiende a 0, la recta secante se aproxima a una posición límite: esa posición límite es la recta tangente, y su pendiente es, precisamente, la derivada.

Formalmente, la derivada de 𝑓 en un punto 𝑎 se define así:

Geométricamente, 𝑓'(𝑎) coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto: si es positiva, la función crece cerca de 𝑎; si es negativa, decrece; si vale cero, la tangente es horizontal.

Ejemplo guiado: derivada de una función cuadrática

Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥² en el punto 𝑥 = 1, aplicando la definición.

𝑓'(1) = lím (ℎ→0) [𝑓(1+ℎ) − 𝑓(1)] / ℎ = lím (ℎ→0) [(1+ℎ)² − 1] / ℎ

Desarrollando el numerador: (1 + 2ℎ + ℎ²) − 1 = 2ℎ + ℎ².

Dividiendo entre ℎ y simplificando:

lím (ℎ→0) (2 + ℎ) = 2

La pendiente de la recta tangente a la parábola en 𝑥 = 1 es igual a 2.

La derivada mide la tasa de variación instantánea — no la altura de la función, sino su inclinación en ese punto exacto.

Error frecuente: muchos estudiantes confunden el valor de la función con el valor de la derivada. 𝑓(𝑎) indica la altura de la gráfica en el punto 𝑎, mientras que 𝑓'(𝑎) indica la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto. Son dos números distintos que responden preguntas distintas.

Cuándo una función es derivable

Una función es derivable en un punto cuando existe su derivada ahí — es decir, cuando ese límite del cociente incremental existe. Igual que con los límites, también se puede estudiar por separado la derivada lateral izquierda y la derecha: una función es derivable en un punto si y solo si ambas existen y coinciden.

Aquí aparece una relación que conviene tener clara desde el principio: si una función es derivable en un punto, entonces es continua ahí. Pero el recíproco no es cierto — una función puede ser continua y, aun así, no ser derivable.

Ejemplo guiado: continua pero no derivable

La función 𝑓(𝑥) = |𝑥| es continua en 𝑥 = 0. Pero calculando sus derivadas laterales: 𝑓'₋(0) = −1 y 𝑓'₊(0) = 1. Como no coinciden, la función no es derivable en 𝑥 = 0, a pesar de no tener ningún salto ni hueco en su gráfica.

Este tipo de punto se llama punto anguloso, y es la situación más habitual en Selectividad donde falla la derivabilidad. Existen otras dos situaciones menos frecuentes pero que conviene reconocer: la tangente vertical (cuando la pendiente crece sin límite, como en la raíz cúbica en 𝑥 = 0) y la cúspide (cuando las derivadas laterales divergen con signos opuestos).

Para demostrar que una función es derivable en un punto, primero hay que comprobar que es continua ahí — la derivabilidad nunca puede saltarse ese paso previo.

Cómo estudiar la derivabilidad en una función a trozos

El procedimiento es siempre el mismo: comprobar primero la continuidad, después calcular las dos derivadas laterales, y compararlas.

Ejercicio resuelto: cuando la continuidad no basta

Determinar el valor de 𝑘 para que la función

𝑓(𝑥) = 𝑥² + 𝑘 si 𝑥 < 1,

𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 si 𝑥 ≥ 1

sea derivable en 𝑥 = 1.

Primero, la continuidad: debe cumplirse 1 + 𝑘 = 2, así que 𝑘 = 1. Hasta aquí, parece resuelto. Pero comprobando ahora las derivadas laterales: 𝑓'₋(1) = 2 y 𝑓'₊(1) = 3. Como 2 ≠ 3, la función no puede ser derivable en 𝑥 = 1 para ningún valor de 𝑘 — el parámetro puede arreglar la continuidad, pero no puede igualar las pendientes de ambos tramos, porque esas pendientes no dependen de 𝑘.

Error frecuente: muchos estudiantes calculan directamente las derivadas laterales sin comprobar antes la continuidad. Si una función no es continua en un punto, ya no puede ser derivable ahí — no hace falta ni calcular las derivadas laterales.

Para derivar funciones más complejas que las de este artículo, hacen falta además las reglas de derivación: cadena, producto y cociente.

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De la derivada a la recta tangente

Para escribir la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto necesitas siempre dos datos: un punto de la curva, y la pendiente — que es, exactamente, la derivada en ese punto.

Ejemplo guiado: hallar la recta tangente

Hallar la recta tangente a 𝑓(𝑥) = (𝑥² − 2𝑥)/(𝑥 + 3) en el punto de abscisa 𝑥₀ = 3.

Primero la ordenada: 𝑓(3) = (9 − 6)/6 = 1/2. El punto de tangencia es (3, 1/2). Derivando y sustituyendo 𝑥 = 3 se obtiene 𝑓'(3) = 7/12. La ecuación de la tangente es:

𝑦 − 1/2 = (7/12)(𝑥 − 3)

La recta normal: la perpendicular a la tangente

La recta normal a una curva en un punto es, sencillamente, la perpendicular a la tangente en ese mismo punto. Si la pendiente de la tangente es 𝑚ₜ, la pendiente de la normal es 𝑚ₙ = −1/𝑚ₜ.

Ejemplo guiado: hallar la recta normal

Hallar la recta normal a 𝑦 = 𝑥² en el punto de abscisa 𝑥 = 1.

𝑓(1) = 1, y 𝑓'(𝑥) = 2𝑥, así que 𝑓'(1) = 2. La pendiente de la normal es 𝑚ₙ = −1/2, y su ecuación es:

𝑦 − 1 = −(1/2)(𝑥 − 1)

Error frecuente: muchos estudiantes confunden la pendiente de la tangente con la de la normal. Si 𝑚ₜ = 𝑓'(𝑥₀), la pendiente de la normal no es la misma ni su opuesta, sino su inversa cambiada de signo: 𝑚ₙ = −1/𝑚ₜ.

Resumen

Concepto	Qué es	Cómo se calcula
𝑓(𝑎)	El valor (altura) de la función en 𝑎	Sustituir 𝑥 = 𝑎 en la función
𝑓'(𝑎)	La pendiente de la tangente en 𝑎	Límite del cociente incremental, o reglas de derivación
Derivable en un punto	Existen las derivadas laterales y coinciden	Comprobar continuidad primero, luego comparar laterales
Recta tangente	Pasa por (𝑥₀, 𝑓(𝑥₀)) con pendiente 𝑓'(𝑥₀)	𝑦 − 𝑓(𝑥₀) = 𝑓'(𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₀)
Recta normal	Perpendicular a la tangente en el mismo punto	𝑚ₙ = −1/𝑓'(𝑥₀)

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