Valor absoluto y funciones a trozos: cómo no perderte en los puntos de unión

Estudias cada tramo de una función a trozos con todo el cuidado del mundo: derivas bien, calculas bien los extremos, todo perfecto. Y aun así el ejercicio sale mal, porque el dato que realmente importaba estaba justo donde un tramo termina y el otro empieza — y ahí no miraste. En una función definida a trozos, los puntos de unión suelen contener la información más importante del ejercicio, y son, precisamente, el sitio donde más gente deja de prestar atención.

Cómo eliminar un valor absoluto: todo empieza por el signo

Cuando aparece una expresión |𝑔(𝑥)|, el primer paso siempre es el mismo: resolver 𝑔(𝑥) = 0. Las soluciones obtenidas dividen la recta real en intervalos donde 𝑔(𝑥) mantiene un signo constante, y a partir de ahí se elimina el valor absoluto según la definición:

|𝑔(𝑥)| = 𝑔(𝑥) si 𝑔(𝑥) ≥ 0,

|𝑔(𝑥)| = −𝑔(𝑥) si 𝑔(𝑥) < 0

Una vez eliminado el valor absoluto, obtienes una función definida por tramos que ya puede estudiarse con los procedimientos habituales — dominio, monotonía, extremos, todo lo que ya conoces.

Ejemplo guiado: representar una función con un valor absoluto

Representa 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥 − 2|.

La expresión interior es 𝑥 − 2, que cambia de signo en 𝑥 = 2. Así que:

|𝑥 − 2| = −𝑥+2 si 𝑥 < 2,

|𝑥 − 2| = 𝑥−2 si 𝑥 ≥ 2

Sustituyendo, 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥 para 𝑥 < 2, y 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 para 𝑥 ≥ 2. El dominio es todo ℝ, y los cortes con el eje 𝑋 se obtienen resolviendo 𝑥|𝑥−2| = 0, lo que da 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2.

En el primer tramo, 𝑓'(𝑥) = −2𝑥+2 se anula en 𝑥 = 1, con 𝑓(1) = 1: hay un máximo relativo en (1, 1). En el segundo tramo no aparecen nuevos puntos críticos, pero en 𝑥 = 2 la función presenta un punto anguloso — un cambio brusco de pendiente, aunque sin discontinuidad.

Cuando el valor absoluto afecta solo a una parte de la expresión, el punto donde cambia de signo casi siempre marca un punto anguloso en la gráfica final — conviene estudiarlo con la misma atención que un extremo relativo.

Cuando el valor absoluto envuelve toda la función

Si el valor absoluto rodea la función entera, 𝑦 = |𝑓(𝑥)|, el procedimiento es distinto pero igual de directo: los puntos situados por encima del eje 𝑋 permanecen inalterados, y los que quedan por debajo se reflejan respecto a ese mismo eje.

Ejemplo guiado: reflejar los tramos negativos

Representa 𝑓(𝑥) = |𝑥² − 4𝑥 + 3|.

Factorizando, 𝑥² − 4𝑥 + 3 = (𝑥−1)(𝑥−3), que cambia de signo en 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3. Estudiando el signo del interior: es positivo para 𝑥 < 1, negativo entre 1 y 3, y positivo de nuevo para 𝑥 > 3. Eso da:

𝑓(𝑥) = 𝑥²−4𝑥+3 si 𝑥 ≤ 1,

𝑓(𝑥) = −𝑥²+4𝑥−3 si 1 < 𝑥 < 3,

𝑓(𝑥) = 𝑥²−4𝑥+3 si 𝑥 ≥ 3

El tramo central es, sencillamente, la parábola original reflejada respecto al eje 𝑋. La gráfica queda formada por tres arcos parabólicos unidos en (1, 0) y (3, 0).

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El método para representar cualquier función a trozos

Para representar una función definida a trozos conviene seguir siempre el mismo procedimiento: estudiar el dominio, representar cada tramo por separado, analizar los puntos donde cambia la definición, determinar si los extremos de cada tramo pertenecen o no a la gráfica, y unir los resultados. En esos extremos pueden aparecer puntos cerrados (que sí pertenecen a la gráfica) o puntos abiertos (que no pertenecen).

Los puntos de unión: donde se concentra la información importante

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑓₁(𝑥) si 𝑥 < 𝑎, y 𝑓₂(𝑥) si 𝑥 ≥ 𝑎. La función es continua en 𝑥 = 𝑎 si los dos límites laterales coinciden entre sí y con 𝑓(𝑎). Y aunque sea continua, puede no ser derivable: para eso hace falta, además, que coincidan las derivadas laterales, 𝑓'₋(𝑎) = 𝑓'₊(𝑎). Si no coinciden, aparece un punto anguloso.

Ejercicio resuelto: una discontinuidad de salto

Representa 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 si 𝑥 < 1, y 𝑥² si 𝑥 ≥ 1.

El primer tramo, en 𝑥 = 1, tiende a 2 — pero como el punto no pertenece a ese tramo, se marca con un círculo abierto. El segundo tramo, en 𝑥 = 1, vale 1, y ese punto sí pertenece a la gráfica. Como los límites laterales (2 y 1) no coinciden, la función presenta una discontinuidad de salto en 𝑥 = 1.

Ejercicio resuelto: continua, pero no derivable

Representa 𝑓(𝑥) = 𝑥² si 𝑥 < 0, y 𝑥 si 𝑥 ≥ 0.

Los límites laterales en 𝑥 = 0 coinciden (ambos valen 0), y además 𝑓(0) = 0: la función es continua. Pero comprobando las derivadas laterales, 𝑓'₋(0) = 0 y 𝑓'₊(0) = 1 — no coinciden, así que la función no es derivable en 𝑥 = 0, y la gráfica presenta un punto anguloso.

Error frecuente: muchos estudiantes estudian cada tramo correctamente, pero olvidan analizar qué ocurre en los puntos donde cambia la definición de la función. En una función definida a trozos, los puntos de unión suelen contener la información más importante del ejercicio.

Cuando aparece un parámetro: continuidad y derivabilidad a la vez

Ejercicio resuelto: hallar dos parámetros a la vez

Determina los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓(𝑥) = 𝑥²−4 si 𝑥 < 2, y 𝑎𝑥+𝑏 si 𝑥 ≥ 2, sea continua y derivable.

Para la continuidad: el límite por la izquierda en 𝑥 = 2 es 2²−4 = 0, que debe coincidir con 𝑓(2) = 2𝑎+𝑏. Eso da 2𝑎+𝑏 = 0 — una ecuación con infinitas soluciones posibles todavía.

Para la derivabilidad, además, deben coincidir las derivadas laterales: en el primer tramo, 𝑓'(𝑥) = 2𝑥, así que 𝑓'₋(2) = 4; en el segundo, 𝑓'(𝑥) = 𝑎, así que 𝑓'₊(2) = 𝑎. Igualando, 𝑎 = 4. Sustituyendo en la condición de continuidad, 2(4)+𝑏 = 0, así que 𝑏 = −8.

Cuando un ejercicio pide dos condiciones a la vez —continuidad y derivabilidad—, cada una aporta su propia ecuación, y normalmente hacen falta ambas para determinar todos los parámetros.

Resumen

Situación	Qué comprobar	Qué revela
|𝑔(𝑥)| en parte de la expresión	Signo de 𝑔(𝑥); se elimina por tramos	Suele generar un punto anguloso donde 𝑔(𝑥) cambia de signo
|𝑓(𝑥)| envolviendo toda la función	Reflejar la parte negativa respecto al eje 𝑋	La gráfica final nunca queda por debajo del eje 𝑋
Punto de unión, continuidad	Límites laterales y 𝑓(𝑎) deben coincidir	Si no coinciden, hay discontinuidad de salto
Punto de unión, derivabilidad	Derivadas laterales deben coincidir	Si no coinciden (aun siendo continua), hay un punto anguloso

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