Continuidad y discontinuidades: la estrategia para no perderte con los parámetros

Te dan una función a trozos con un parámetro desconocido y te piden el valor que la hace continua. Sustituyes el punto de empalme en una de las dos expresiones, despejas, y ya tienes tu respuesta. Salvo que ese no es el procedimiento: lo que hay que igualar son los dos límites laterales entre sí, no una expresión con un número suelto. Es un atajo que parece funcionar a veces por pura coincidencia, y falla justo cuando el ejercicio se pone interesante.

Qué significa exactamente que una función sea continua

La idea intuitiva es sencilla: una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz, sin saltos ni huecos. Pero para trabajar con ella hace falta una versión más precisa. Una función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑎 si:

Esta única igualdad esconde, en realidad, tres condiciones que deben cumplirse a la vez:

1. La función está definida en 𝑎 — existe 𝑓(𝑎).

2. Existe el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

3. Ambos coinciden.

Si falla cualquiera de las tres, la función no es continua en ese punto — y solo en ese punto: la continuidad siempre se estudia uno a uno, una función puede ser continua en unos valores y no en otros.

Error frecuente: muchos estudiantes comprueban únicamente que existe el límite. Pero para que una función sea continua también hace falta que esté definida en el punto y que el límite coincida con ese valor. Las tres condiciones son necesarias, no solo una de ellas.

Continuidad no es lo mismo que estar definida en un punto — es estar definida, tener límite, y que ambos coincidan.

Los cuatro tipos de discontinuidad

Cuando una de las tres condiciones falla, aparece una discontinuidad — y no todas son iguales. Identificar cuál falló es lo que determina el tipo:

• Evitable: el límite existe y es finito, pero la función no está definida en ese punto, o está definida con un valor distinto. Es la más "reparable" de las cuatro — bastaría redefinir 𝑓(𝑎) para que la función pasara a ser continua.

• De salto: los dos límites laterales existen, pero no coinciden entre sí. La gráfica cambia de nivel de golpe al cruzar el punto.

• Infinita: al menos uno de los límites laterales es ±∞. Está siempre asociada a una asíntota vertical.

• Oscilatoria: la función oscila indefinidamente cerca del punto sin aproximarse a ningún valor concreto — el ejemplo clásico es sin(1/𝑥) cerca de 𝑥 = 0. Es la menos habitual en Selectividad, pero conviene saber que existe.

El procedimiento para clasificar cualquier discontinuidad es siempre el mismo: calcula el límite por la izquierda, calcula el límite por la derecha, compáralos entre sí, y comprueba si la función está definida en el punto. Solo con esos cuatro datos puedes decidir de qué tipo se trata.

Error frecuente: muchos estudiantes clasifican cualquier discontinuidad como "de salto" sin comprobar antes los límites laterales. La clasificación depende completamente de su comportamiento — no es la opción por defecto.

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El ejercicio más habitual: calcular un parámetro para que haya continuidad

Aquí es donde se concentra la mayoría de las preguntas de Selectividad sobre este tema: una función definida a trozos con un parámetro desconocido, y la condición de que sea continua en el punto de empalme.

El procedimiento correcto consiste en calcular el límite lateral izquierdo, el límite lateral derecho, e igualarlos entre sí (y, si hace falta, con el valor de la función).

Ejemplo

Determina el valor de 𝑘 para que la función

𝑓(𝑥) = 𝑥² + 𝑘 si 𝑥 < 1,

𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 si 𝑥 ≥ 1

sea continua en 𝑥 = 1.

Límite por la izquierda: lím (𝑥→1⁻) (𝑥² + 𝑘) = 1 + 𝑘

Límite por la derecha: lím (𝑥→1⁺) (3𝑥 − 1) = 2

Imponiendo la continuidad — igualando ambos límites — se obtiene 1 + 𝑘 = 2, y por tanto 𝑘 = 1.

Cuando aparece un parámetro desconocido, la continuidad no es una comprobación: es una ecuación que resolver.

Error frecuente: cuando aparece un parámetro, algunos estudiantes igualan solo una de las dos expresiones a un valor suelto, en vez de igualar los dos límites laterales entre sí. Lo correcto es siempre calcular ambos límites por separado y compararlos — y, en caso de que se pida además continuidad con el valor de la función, comprobar también esa tercera coincidencia.

Error frecuente, muy relacionado: sustituir directamente el valor del punto de empalme en una sola de las expresiones y dar el ejercicio por resuelto sin calcular los dos límites laterales. La continuidad en una función a trozos siempre se comprueba con los dos límites — nunca con uno solo.

Dominio y continuidad no son lo mismo

Hay una confusión final que conviene desmontar del todo, porque aparece constantemente: que una función esté definida en un punto no significa que sea continua en él.

Toma 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 si 𝑥 ≠ 1, y 𝑓(𝑥) = 7 si 𝑥 = 1. Esta función sí está definida en 𝑥 = 1 — vale 7 ahí. Pero el límite cuando 𝑥 tiende a 1 vale 2, no 7. Como el límite y el valor de la función no coinciden, la función no es continua en 𝑥 = 1, a pesar de estar perfectamente definida.

Esta distinción es exactamente la misma idea que abre toda esta unidad: el límite describe una tendencia, y el valor de la función describe lo que ocurre exactamente en el punto. Aquí, además, entra en juego una tercera pieza — si ambos coinciden — y de esa coincidencia depende toda la continuidad.

Estar definida en un punto es una condición necesaria para la continuidad, pero no es suficiente por sí sola.

Cuando se pide determinar los intervalos de continuidad de una función, la estrategia es siempre la misma: localizar los puntos problemáticos (los que no pertenecen al dominio, o los puntos de empalme en funciones a trozos) y usarlos para dividir la recta real en tramos. Dentro de cada tramo, si la función es de un tipo que ya sabes continuo (polinómica, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica), no hace falta comprobar nada más.

Esta misma continuidad es, además, la condición de partida de los teoremas de Bolzano y del valor medio.

Resumen

Tipo de discontinuidad	Qué falla	Cómo se ve en la gráfica
Evitable	Límite existe, pero no coincide con 𝑓(𝑎) o 𝑓(𝑎) no existe	Un hueco puntual
De salto	Los límites laterales existen pero no coinciden	Un cambio brusco de nivel
Infinita	Algún límite lateral es ±∞	La curva se dispara hacia el infinito
Oscilatoria	La función oscila sin aproximarse a ningún valor	Oscilación descontrolada cerca del punto

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