Regla de la cadena, producto y cociente: los tres errores que más se repiten

Te dan una función que es el producto de dos más sencillas, derivas cada una por separado y multiplicas los resultados. Parece razonable — al fin y al cabo, la derivada de una suma es la suma de las derivadas, ¿por qué no iba a pasar lo mismo con un producto? Pues porque no es así, y este único malentendido es responsable de una buena parte de los errores que aparecen al derivar. Las reglas de producto, cociente y cadena tienen, cada una, su propia forma característica de fallar — y las tres son evitables en cuanto sabes qué buscar.

Por qué hacen falta reglas de derivación

Hasta ahora, calcular una derivada exigía recurrir directamente a la definición mediante un límite — un procedimiento correcto, pero lento incluso para funciones sencillas. Las reglas de derivación existen precisamente para evitar repetir ese límite cada vez.

Antes de aplicar estas reglas, recuerda que la derivada mide la pendiente de la recta tangente en cada punto.

La más simple de todas es la linealidad: la derivada conserva sumas, restas y multiplicaciones por constantes.

Ejemplo guiado: derivada mediante linealidad

Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 5𝑥 + 7.

Aplicando la linealidad, se deriva cada término por separado: (3𝑥²)' − (5𝑥)' + (7)' = 6𝑥 − 5 + 0. La derivada de una constante es siempre cero, así que 𝑓'(𝑥) = 6𝑥 − 5.

Esto funciona perfectamente con sumas. El problema empieza en cuanto la función es un producto o un cociente, porque ahí la intuición de "derivar cada pieza por separado" deja de ser válida.

El primer error: la derivada de un producto no es el producto de las derivadas

Cuando una función es el producto de otras dos, no basta con derivar cada factor por separado y multiplicar.

Ejemplo guiado: aplicar la regla del producto

Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥² sin 𝑥.

Aplicando la regla: 𝑓'(𝑥) = (𝑥²)' sin 𝑥 + 𝑥² (sin 𝑥)' = 2𝑥 sin 𝑥 + 𝑥² cos 𝑥.

La derivada de un producto NO es el producto de las derivadas. Es tentador pensar que (𝑓·𝑔)' = 𝑓'·𝑔', pero esa fórmula no corresponde a nada real — la regla correcta necesita los dos términos cruzados, 𝑓'𝑔 + 𝑓𝑔'.

El segundo error: en el cociente, el orden de la resta importa

El cociente tiene su propia versión del mismo problema, con una dificultad añadida: hay que restar en el orden correcto y no olvidar el denominador al cuadrado.

Ejemplo guiado: aplicar la regla del cociente

Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = (𝑥² + 1)/𝑥.

Identificamos 𝑢 = 𝑥² + 1, 𝑣 = 𝑥, con 𝑢' = 2𝑥 y 𝑣' = 1. Aplicando la fórmula:

𝑓'(𝑥) = [(2𝑥)(𝑥) − (𝑥²+1)(1)] / 𝑥² = (2𝑥² − 𝑥² − 1) / 𝑥² = (𝑥² − 1) / 𝑥²

Fíjate en el orden: es 𝑢'𝑣 − 𝑢𝑣', no al revés. Invertir esa resta no es un desliz menor — cambia el signo completo del resultado. Y el denominador nunca se deriva: se eleva al cuadrado tal cual.

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El tercer error, el más repetido de todos: olvidar la derivada de la función interior

La regla de la cadena sirve para derivar funciones compuestas — aquellas en las que una función aparece dentro de otra, como sin(𝑥²), √(𝑥+1) o ln(sin 𝑥). Para aplicarla hay que distinguir siempre dos piezas: la función exterior y la función interior.

En sin(𝑥²), la exterior es sin( ) y la interior es 𝑥². La regla se resume así: derivada = derivada de la exterior × derivada de la interior.

Ejemplo guiado: aplicar la regla de la cadena

Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = sin(𝑥²).

Se deriva la exterior dejando la interior igual: cos(𝑥²). Se multiplica por la derivada de la interior: 2𝑥. Por tanto, 𝑓'(𝑥) = 2𝑥 cos(𝑥²).

Ejemplo guiado: composiciones múltiples

Cuando aparecen varias funciones encadenadas, la regla se aplica tantas veces como haga falta. Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = √(sin(𝑥²)).

Escribiendo la raíz como potencia 1/2: derivando la exterior, (1/2)(sin(𝑥²))^(−1/2); multiplicando por la derivada de sin(𝑥²), que es cos(𝑥²)·2𝑥. El resultado, simplificado, es:

𝑓'(𝑥) = 𝑥 cos(𝑥²) / √(sin(𝑥²))

Error frecuente: el error más habitual consiste en olvidar derivar la función interior al aplicar la regla de la cadena. Por ejemplo, (sin(𝑥²))' no es cos(𝑥²) — es cos(𝑥²) · 2𝑥. Saltarse ese último factor es, con diferencia, el fallo más repetido de toda la unidad de derivadas.

Antes de derivar: identifica la operación principal

Muchos errores aparecen simplemente por lanzarse a derivar sin analizar antes la función. Conviene seguir siempre el mismo orden: identifica la operación principal (¿es una suma, un producto, un cociente, una composición?), determina qué regla corresponde, localiza las posibles funciones interiores, y aplica las reglas de fuera hacia dentro.

Ejercicio resuelto: cuando se combinan varias reglas

Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = sin(𝑥²) / (𝑥+1).

La operación principal es un cociente, así que se aplica primero esa regla — y dentro del numerador aparece, además, una composición que requiere la regla de la cadena:

𝑓'(𝑥) = [2𝑥 cos(𝑥²)(𝑥+1) − sin(𝑥²)] / (𝑥+1)²

Identificar primero qué regla manda (aquí, el cociente) y resolver las composiciones internas después es lo que evita mezclar los pasos y perder de vista qué se está derivando en cada momento.

Estas mismas reglas son las que usarás para estudiar la monotonía y la concavidad de una función.

Resumen

Regla	Fórmula	Error más común
Producto	(𝑓·𝑔)' = 𝑓'𝑔 + 𝑓𝑔'	Multiplicar las derivadas en vez de aplicar la fórmula completa
Cociente	(𝑓/𝑔)' = (𝑓'𝑔 − 𝑓𝑔')/𝑔²	Invertir el orden de la resta, u olvidar el denominador al cuadrado
Cadena	𝑦' = 𝑓'(𝑔(𝑥))·𝑔'(𝑥)	Olvidar multiplicar por la derivada de la función interior

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