Lugares geométricos en el espacio

Un plano mediador, unos planos bisectores, una superficie esférica: a primera vista son tres objetos completamente distintos, con ecuaciones que no se parecen entre sí. Pero los tres nacen exactamente del mismo procedimiento: tomar un punto genérico X, traducir una condición de distancias a una ecuación, y simplificar hasta reconocer la figura. Aprender ese procedimiento una vez te sirve para los tres casos — y para bastantes más.

El método universal: condición → ecuación → interpretación

Un lugar geométrico es, simplemente, el conjunto de puntos que cumplen una condición determinada. Para encontrar su ecuación, el camino es siempre el mismo: tomar X = (x, y, z), escribir algebraicamente la condición del enunciado, simplificar, y finalmente identificar qué figura representa el resultado.

Conviene no intentar adivinar la figura antes de terminar el cálculo — es la ecuación simplificada la que te dice qué tienes delante, no al revés.

Plano mediador: equidistar de dos puntos

El plano mediador de un segmento AB es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de A que de B. Al plantear esa igualdad e imponer d(X,A) = d(X,B), los términos cuadráticos x², y², z² se cancelan al desarrollar — y lo que queda es una ecuación lineal: un plano.

Ejemplo guiado

Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A = (1, −3, 4) y B = (5, 1, −2).

Planteamos d(X,A) = d(X,B) y elevamos al cuadrado ambos lados:

(x−1)²+(y+3)²+(z−4)² = (x−5)²+(y−1)²+(z+2)²

Al desarrollar, los términos x², y², z² se cancelan, y simplificando queda: 8x+8y−12z−4 = 0, que dividido entre 4 resulta en:

2x+2y−3z−1 = 0

Podemos comprobarlo sin repetir el desarrollo: el vector AB = (4,4,−6) = 2·(2,2,−3) es paralelo al vector normal del plano obtenido, y el punto medio M = (3,−1,1) satisface la ecuación. Ambas comprobaciones confirman que se trata del plano mediador de AB.

Error frecuente: confundir el plano mediador con la recta que une A y B. El plano mediador es perpendicular al segmento AB y pasa por su punto medio — no contiene ni a A ni a B.

De hecho, existe un atajo que evita repetir todo el desarrollo de distancias: el plano mediador siempre pasa por el punto medio M = (A+B)/2 y tiene como vector normal a AB. Con esos dos datos puedes escribir la ecuación directamente — la igualdad de distancias explica por qué funciona, pero no hace falta repetirla cada vez.

Planos bisectores: equidistar de dos planos

Cuando la condición es equidistar de dos planos en lugar de dos puntos, el procedimiento es análogo, pero con una diferencia importante: antes de igualar, hay que normalizar dividiendo entre el módulo de cada vector normal.

Al eliminar los valores absolutos aparecen siempre dos posibilidades —con signo + y con signo −—, así que dos planos secantes generan siempre dos planos bisectores, ambos conteniendo la recta de intersección de los planos originales.

Ejercicio resuelto

Halla los planos bisectores de π: x+y−1=0 y π′: y−z−1=0.

Los vectores normales son (1,1,0) y (0,1,−1), y ambos tienen el mismo módulo: √2. Como los módulos coinciden, podemos igualar directamente:

|x+y−1| = |y−z−1|

Primer caso (mismo signo): x+y−1 = y−z−1, que se simplifica a σ₁: x+z = 0.

Segundo caso (signo opuesto): x+y−1 = −(y−z−1), que se simplifica a σ₂: x+2y−z−2 = 0.

Los dos planos bisectores son σ₁: x+z=0 y σ₂: x+2y−z−2=0.

Error frecuente: quedarse con una sola ecuación al eliminar los valores absolutos. La igualdad |A|=|B| produce siempre dos posibilidades, A=B y A=−B — por eso hay dos planos bisectores, nunca uno solo.

Error frecuente: igualar directamente las ecuaciones de los planos sin dividir antes por el módulo de sus vectores normales. Si los módulos no coinciden, omitir este paso da un resultado incorrecto.

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Superficie esférica: distancia constante a un centro

Si en vez de equidistar de dos objetos, un punto debe mantenerse a una distancia constante r de un único centro C, la condición d(X,C) = r ya no se cancela en cuadrados: al elevarla al cuadrado obtenemos directamente la ecuación de una superficie esférica.

Al desarrollar esta ecuación aparece una forma con x²+y²+z² y términos lineales — para recuperar el centro y el radio, hay que completar cuadrados.

Ejemplo guiado

Determina el centro y el radio de x²+y²+z²−4x+6z−12=0.

Agrupamos: (x²−4x) + y² + (z²+6z) = 12.

Completamos cuadrados: x²−4x = (x−2)²−4, y z²+6z = (z+3)²−9.

Sustituyendo: (x−2)²−4 + y² + (z+3)²−9 = 12, es decir, (x−2)²+y²+(z+3)² = 25.

El centro es C = (2, 0, −3) y el radio, r = 5 (porque 25 = 5²).

Error frecuente: confundir una superficie esférica con una bola. La condición d(X,C)=r describe únicamente la superficie (el "cascarón"); d(X,C)≤r describe la bola completa, incluyendo el interior.

Al completar cuadrados también puede ocurrir que el término independiente resulte negativo o nulo: si R²>0 obtienes una superficie esférica genuina, si R²=0 el "lugar geométrico" se reduce a un único punto, y si R²<0 no existen puntos reales que cumplan la condición.

Intersección de una esfera y un plano

Dada una esfera de centro C y radio R, y un plano π, todo depende de comparar R con la distancia del centro al plano, d = d(C,π). Si d>R, el plano no toca a la esfera. Si d=R, la toca en un único punto (es tangente). Y si d<R, la corta en una circunferencia.

El centro de esa circunferencia es la proyección ortogonal de C sobre el plano —de nuevo la proyección ortogonal, ya vista en un artículo anterior— y su radio r se obtiene mediante un sencillo teorema de Pitágoras: r²+d² = R².

Ejercicio resuelto

La superficie (x−3)²+(y+2)²+(z−1)²=25 y el plano 2x−2y+z−2=0 se cortan en una circunferencia. Calcula su radio.

El centro de la esfera es C=(3,−2,1) y su radio, R=5. Calculamos la distancia del centro al plano:

d(C,π) = |2·3−2·(−2)+1−2| / √(4+4+1) = |6+4+1−2|/3 = 9/3 = 3.

Como 3<5, el plano es secante y la intersección es, efectivamente, una circunferencia. Su radio es:

r = √(R²−d²) = √(25−9) = √16 = 4.

Otras superficies: la misma lógica, condiciones distintas

Elipsoides, paraboloides e hiperboloides se definen también mediante condiciones de distancias —suma constante a dos focos, equidistancia a un foco y un plano directriz, diferencia constante de distancias—, y cuando sus semiejes coinciden, un elipsoide se convierte precisamente en una esfera. En Selectividad, lo habitual no es memorizar sus ecuaciones canónicas, sino saber traducir correctamente la condición de distancias que las genera y simplificar la ecuación resultante — el mismo método universal de siempre.

La tabla que lo resume todo

Condición	Lugar geométrico	Tipo de ecuación
d(X,A) = d(X,B)	plano mediador de AB	lineal (un plano)
d(X,π₁) = d(X,π₂)	planos bisectores	dos ecuaciones lineales
d(X,C) = r	superficie esférica	cuadrática con x²+y²+z²
d(X,C) ≤ r	bola (esfera + interior)	desigualdad

No hace falta memorizar una fórmula distinta para cada lugar geométrico. Lo único que hay que memorizar es el procedimiento: punto genérico, condición traducida, simplificación, interpretación. Y recuerda comprobar que no se hayan introducido soluciones extrañas al elevar al cuadrado — es un paso rápido que evita errores en la interpretación final.

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