Proyección ortogonal y simetría de un punto: un solo procedimiento, dos preguntas

A primera vista, proyección ortogonal y simetría parecen dos temas distintos con dos procedimientos que memorizar. No lo son. Son la misma construcción geométrica, aplicada un paso más allá. Si sabes calcular dónde cae la perpendicular desde un punto hasta una recta o un plano, ya sabes calcular su simétrico — solo falta una operación más.

Proyectar un punto sobre una recta

La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r es el punto H de la recta tal que el segmento PH es perpendicular a r. Ese punto H recibe también el nombre de pie de la perpendicular, y para encontrarlo necesitamos que se cumplan dos condiciones a la vez: pertenencia + perpendicularidad.

Ejemplo guiado

Halla la proyección ortogonal del punto P = (1, 2, 3) sobre la recta r: x = 2+λ, y = −1+2λ, z = λ.

Un punto genérico de la recta es H = (2+λ, −1+2λ, λ), y su vector director es d = (1, 2, 1). Construimos PH = H − P = (1+λ, −3+2λ, λ−3). Como PH debe ser perpendicular a la recta, imponemos PH·d = 0:

(1+λ)·1 + (−3+2λ)·2 + (λ−3)·1 = 0

Desarrollando: 1+λ−6+4λ+λ−3 = 0, es decir 6λ−8 = 0, así que λ = 4/3.

Sustituyendo en la recta obtenemos la proyección: H = (10/3, 5/3, 4/3).

Error frecuente: utilizar directamente (P−A)·d como valor del parámetro λ. Eso solo sería válido si el vector director tuviera módulo 1. En general hay que dividir entre ‖d‖², como muestra la fórmula directa.

Proyectar un punto sobre un plano

Sobre un plano, el procedimiento cambia de forma pero no de espíritu: en vez de buscar un punto sobre una recta, construimos la recta perpendicular al plano que pasa por P — usando su vector normal como director — y calculamos dónde corta al plano.

Ejemplo guiado

Halla la proyección ortogonal del punto P = (2, −1, 3) sobre el plano π: x+2y−2z+1 = 0.

Un vector normal al plano es n = (1, 2, −2). La recta perpendicular al plano que pasa por P es s: x=2+λ, y=−1+2λ, z=3−2λ. Sustituyendo en la ecuación del plano:

(2+λ) + 2(−1+2λ) − 2(3−2λ) + 1 = 0

Desarrollando: 2+λ−2+4λ−6+4λ+1 = 0, es decir 9λ−5 = 0, así que λ = 5/9.

Sustituyendo en la recta obtenemos la proyección: H = (23/9, 1/9, 17/9).

Error frecuente: construir por P una recta con un vector director contenido en el plano. La recta que conduce a la proyección debe ser perpendicular al plano, así que su vector director tiene que ser paralelo al vector normal — no cualquier dirección que "parezca" ir hacia el plano.

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De la proyección a la simetría: un mismo movimiento

Aquí está la conexión que lo cambia todo. Si H es la proyección ortogonal de P sobre una recta o un plano, entonces H es exactamente el punto medio entre P y su simétrico P′. Toda la construcción de la simetría se reduce a una fórmula:

Es decir: primero calculas H —la proyección, tal como acabas de hacer— y después despejas P′ = 2H − P. No hay un segundo procedimiento que aprender.

Ejemplo guiado

Halla el simétrico del punto P = (1, 2, 3) respecto de la recta r: x=2+λ, y=−1+2λ, z=λ.

Ya sabemos, del ejemplo anterior, que la proyección ortogonal de P sobre r es H = (10/3, 5/3, 4/3). Como H es el punto medio de P y P′:

P′ = 2H − P = 2·(10/3, 5/3, 4/3) − (1, 2, 3)

Calculando coordenada a coordenada: x′ = 20/3−1 = 17/3, y′ = 10/3−2 = 4/3, z′ = 8/3−3 = −1/3.

Por tanto, P′ = (17/3, 4/3, −1/3). Puedes comprobarlo verificando que el punto medio de P y P′ es efectivamente H.

Ejemplo guiado

Halla el simétrico del punto P = (2, −1, 3) respecto del plano π: x+2y−2z+1 = 0.

Del ejemplo anterior, la proyección de P sobre π es H = (23/9, 1/9, 17/9). Aplicamos la misma fórmula:

P′ = 2H − P = 2·(23/9, 1/9, 17/9) − (2, −1, 3)

Calculando: x′ = 46/9−2 = 28/9, y′ = 2/9+1 = 11/9, z′ = 34/9−3 = 7/9.

Por tanto, P′ = (28/9, 11/9, 7/9).

Error frecuente: pensar que el punto simétrico P′ debe pertenecer a la recta o al plano. Quien pertenece al objeto de simetría es el punto medio H — el propio P′ se encuentra, en general, completamente fuera de él.

Una consecuencia natural de esta fórmula: si P ya pertenece a la recta o al plano, su proyección es él mismo (H = P), así que P′ = 2P − P = P. Los puntos del eje o del plano de simetría se quedan fijos — no se mueven.

Todo junto: proyección y simetría, recta y plano, en un solo ejercicio

Ejercicio resuelto

Sea el punto P = (1, 0, 2). Calcula su proyección ortogonal y su simétrico respecto de la recta r: x=λ, y=1+λ, z=1−λ, y respecto del plano π: x−y+z−1 = 0.

Proyección sobre la recta. Un punto genérico de r es (λ, 1+λ, 1−λ), con vector director d=(1,1,−1). Imponiendo PH·d=0 se obtiene λ=−1/3, y por tanto Hr = (−1/3, 2/3, 4/3).

Proyección sobre el plano. Un vector normal es n=(1,−1,1). La perpendicular por P corta al plano en μ=−2/3, y por tanto Hπ = (1/3, 2/3, 4/3).

Simétrico respecto de la recta. Aplicando P′ = 2Hr − P: P′r = (−5/3, 4/3, 2/3).

Simétrico respecto del plano. Aplicando P′ = 2Hπ − P: P′π = (−1/3, 4/3, 2/3).

Error frecuente: confundir el vector PH con el punto simétrico. El vector PH describe un desplazamiento; el punto simétrico se obtiene mediante P′ = P + 2·PH, o de forma equivalente, P′ = 2H − P.

La tabla que resume todo

	Sobre una recta	Sobre un plano
Se usa	vector director d	vector normal n
Condición de proyección	(H−P)·d = 0	H = recta perpendicular ∩ plano
Fórmula de la proyección	H = A + [(P−A)·d / ‖d‖²]·d	H = P − [(ax₀+by₀+cz₀+d)/(a²+b²+c²)]·(a,b,c)
Simetría (ambos casos)	P′ = 2H − P	P′ = 2H − P
Puntos fijos	P ∈ r ⇒ P′ = P	P ∈ π ⇒ P′ = P

No memorices dos procedimientos independientes para la proyección y otros dos para la simetría. Hay una sola idea detrás de las cuatro situaciones: encuentra el punto H que cumple pertenencia y perpendicularidad, y si lo que necesitas es el simétrico, aplica P′ = 2H − P. Todo lo demás es la misma comprobación de siempre.

Esta misma proyección H es, además, la pieza clave para calcular la distancia de un punto a una recta o a un plano.

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