Distancias en el espacio: de un punto, entre rectas, entre planos

Un punto a una recta, un punto a un plano, dos rectas, una recta y un plano, dos planos: parece que hacen falta cinco fórmulas distintas para calcular distancias en el espacio. Pero antes de memorizar ninguna, hay una pregunta que resuelve la mitad de los ejercicios sin calcular nada: ¿los dos objetos comparten algún punto? Si la respuesta es sí, la distancia es cero. Y punto.

Antes de calcular nada: ¿comparten un punto?

La distancia entre dos objetos geométricos es la menor longitud posible entre un punto de uno y un punto del otro. Si dos rectas se cortan, si una recta atraviesa un plano, si dos planos son secantes: en todos esos casos existe al menos un punto común, así que la distancia es, directamente, cero. Solo tiene sentido ponerse a calcular cuando los objetos son paralelos —o, en el caso de dos rectas, cuando son cruzadas—.

Esta comprobación previa no es un detalle menor: aplicar una fórmula de distancia sin comprobar antes la posición relativa es la forma más habitual de perder tiempo, y a veces de equivocarse, en este tipo de ejercicios.

Distancia de un punto a una recta

Cuando el punto y la recta no coinciden, la distancia es la longitud del segmento perpendicular entre ambos — es decir, la distancia entre P y su proyección ortogonal H. Pero existe también una fórmula directa que evita calcular la proyección, basada en una idea muy elegante: dos vectores cualesquiera forman un paralelogramo, y su área se puede repartir como base por altura.

Tomando el vector director d como base, la altura de ese paralelogramo es exactamente la distancia que buscamos:

Ejercicio resuelto

Calcula, mediante el producto vectorial, la distancia del punto P = (5, −1, 6) a la recta r: x=1−2λ, y=−λ, z=5+λ.

Tomamos un punto de la recta, R = (1, 0, 5), y su vector director, d = (−2, −1, 1). Construimos RP = P − R = (4, −1, 1).

Calculamos el producto vectorial: RP × d = (4,−1,1) × (−2,−1,1) = (0, −6, −6).

Su módulo es ‖RP×d‖ = √(0+36+36) = √72. El módulo del vector director es ‖d‖ = √(4+1+1) = √6.

Por tanto: d(P,r) = √72/√6 = √12 = 2√3.

Error frecuente: olvidar dividir entre el módulo del vector director. El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo completo, no la distancia — hay que repartir esa área entre la longitud de la base, tal como indica la fórmula.

Error frecuente: pensar que el punto R debe ser algún punto especial de la recta. Puede elegirse cualquier punto de r; el resultado de la distancia será siempre el mismo.

Distancia de un punto a un plano

Aquí existe una fórmula todavía más directa, que no requiere construir ninguna recta perpendicular: basta con sustituir las coordenadas del punto en la ecuación del plano.

El numerador se obtiene sustituyendo el punto en la ecuación del plano, y el denominador es, simplemente, el módulo del vector normal.

Ejemplo guiado

Calcula la distancia del punto P = (−2, −6, 11) al plano π: x−3y+5z−1=0.

Sustituimos las coordenadas de P en la parte izquierda de la ecuación: −2−3·(−6)+5·11−1 = −2+18+55−1 = 70.

El módulo del vector normal (1,−3,5) es √(1+9+25) = √35.

Por tanto: d(P,π) = 70/√35 = 2√35, tras racionalizar.

Error frecuente: olvidar el valor absoluto en el numerador. La expresión ax₀+by₀+cz₀+d puede salir negativa, pero una distancia nunca puede serlo.

Error frecuente: usar como denominador a²+b²+c² en lugar de su raíz cuadrada. El denominador debe ser el módulo del vector normal, no su módulo al cuadrado.

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Distancia entre dos rectas: primero clasifica

Si dos rectas se cortan o coinciden, su distancia es cero — ni siquiera hace falta seguir leyendo el ejercicio. Si son paralelas distintas, la distancia se reduce al caso anterior: tomas un punto de una recta y calculas su distancia a la otra. El caso realmente nuevo es el de las rectas cruzadas, donde reutilizamos el producto mixto que ya vimos en el primer artículo de este bloque.

La lógica es la misma que antes, un nivel más arriba: los vectores d, e y RS determinan un paralelepípedo, cuyo volumen se reparte entre el área de la base —el paralelogramo de d y e— para obtener la altura, que es precisamente la distancia entre las rectas.

Ejercicio resuelto

Calcula la distancia entre las rectas r: x=5+λ, y=−1, z=8+2λ y s: x=4+3μ, y=3−μ, z=5+4μ.

Tomamos R=(5,−1,8) y S=(4,3,5), con vectores directores d=(1,0,2) y e=(3,−1,4), que no son proporcionales. Construimos RS = S−R = (−1,4,−3).

Calculamos el producto mixto [d,e,RS], que da como resultado −9, así que su valor absoluto es 9.

Calculamos también d×e = (2,2,−1), cuyo módulo es √(4+4+1) = 3.

Por tanto: d(r,s) = 9/3 = 3.

Error frecuente: olvidar el valor absoluto del producto mixto. Puede salir negativo según el orden en que se coloquen los vectores, pero la distancia nunca puede serlo.

Error frecuente: aplicar esta fórmula cuando los vectores directores son paralelos. Si d ∥ e, entonces d×e = 0 y la división no tiene sentido — en ese caso hay que usar el método de rectas paralelas, no el del producto mixto.

Recta-plano y plano-plano: todo se reduce a un punto

Estos dos casos comparten la misma lógica: primero se comprueba la posición relativa —producto escalar d·n para recta-plano, comparación de normales para plano-plano—, y si son paralelos (no secantes), la distancia se reduce siempre a una distancia de un punto a un plano, el caso que ya dominamos.

Ejemplo guiado

Calcula la distancia entre los planos π: x−5y+2z−19=0 y σ: 2x−10y+4z=0.

Sus vectores normales son (1,−5,2) y (2,−10,4) = 2·(1,−5,2): son proporcionales, así que los planos son paralelos o coincidentes. Antes de aplicar la fórmula directa, dividimos la ecuación de σ entre 2, para que ambos planos compartan el mismo vector normal: σ: x−5y+2z=0.

Ahora sí, con los mismos coeficientes de x, y, z: d(π,σ) = |0−(−19)|/√(1+25+4) = 19/√30.

Error frecuente: aplicar la fórmula directa |d₂−d₁|/√(a²+b²+c²) sin haber igualado antes los coeficientes de x, y, z en ambas ecuaciones. Si los vectores normales son proporcionales pero no idénticos, hay que multiplicar o dividir una de las ecuaciones antes de restar los términos independientes.

La tabla que lo resume todo

Objetos	Comprobación previa	Si no es cero
Punto y recta	— (siempre positiva salvo P∈r)	‖RP×d‖ / ‖d‖
Punto y plano	— (siempre positiva salvo P∈π)	|ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)
Dos rectas	¿se cortan o coinciden?	paralelas: d(punto,recta) · cruzadas: |[d,e,RS]|/‖d×e‖
Recta y plano	d·n = 0 ?	d(P,π) con P de la recta
Dos planos	n₁ ∥ n₂ ?	d(P,π₂) con P del primer plano

Todas las distancias complejas de esta lección se reducen, al final, a dos casos básicos: punto a recta y punto a plano. Antes de aplicar cualquier fórmula, identifica el segmento cuya longitud representa realmente la distancia, y comprueba primero si ese segmento tiene longitud cero. El resto es, casi siempre, una cuenta que ya sabes hacer.

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