Áreas y volúmenes mediante vectores

Te dan las coordenadas de tres vértices y te piden el área del triángulo que forman. O las de cuatro puntos, y te piden el volumen del tetraedro. Podrías buscar fórmulas específicas para cada figura — pero no hace falta ninguna nueva. El producto vectorial y el producto mixto, que ya conoces del primer artículo de este bloque, son exactamente las herramientas que necesitas. Solo falta un paso más: interpretar sus resultados como área y como volumen.

Área de un paralelogramo y de un triángulo

El módulo del producto vectorial de dos vectores es, directamente, el área del paralelogramo que determinan. Y como un triángulo es exactamente la mitad de ese paralelogramo, su área es la misma expresión dividida entre 2.

El procedimiento siempre es el mismo: elegir un vértice común, construir dos lados desde él, calcular su producto vectorial, y dividir el módulo entre 2.

Ejemplo guiado

Calcula el área del triángulo de vértices A = (−5, 2, 1), B = (1, 7, 5), C = (−1, 0, 4).

Tomamos A como vértice común y construimos AB = B−A = (6, 5, 4) y AC = C−A = (4, −2, 3).

Calculamos el producto vectorial: AB × AC = (23, −2, −32).

Su módulo es ‖AB×AC‖ = √(529+4+1024) = √1557.

El área del triángulo es la mitad: A△ABC = √1557/2 ≈ 19,73 u².

Error frecuente: usar directamente ‖AB×AC‖ como área del triángulo. Ese valor corresponde al paralelogramo completo — para el triángulo hay que dividir entre 2.

Error frecuente: construir los vectores restando los puntos en órdenes incompatibles, o mezclando vectores con orígenes distintos. Una vez elegido el vértice común A, ambos vectores deben partir de él: AB = B−A y AC = C−A, nunca AB junto con BC, por ejemplo.

Cuando el área da cero: puntos alineados

Si el producto vectorial de AB y AC es el vector nulo, el "triángulo" tiene área cero — lo que significa que los tres puntos están alineados. Es el mismo criterio que ya viste con las rectas paralelas: área nula equivale a vectores paralelos.

Ejercicio resuelto

Estudia si los puntos A = (1, 0, 2), B = (3, 1, 4), C = (5, 2, 6) están alineados.

Calculamos AB = (2, 1, 2) y AC = (4, 2, 4). Observamos que AC = 2·AB — los vectores son paralelos, así que su producto vectorial es el vector nulo.

Por tanto, A, B y C están alineados, y el triángulo que formarían tiene área nula.

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Volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro

El mismo patrón se repite un nivel más arriba. El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo que determinan. Y un tetraedro ocupa exactamente una sexta parte de ese paralelepípedo.

Ese factor 1/6 no es casual: una pirámide ocupa un tercio del prisma de igual base y altura, y la base triangular ocupa la mitad del paralelogramo correspondiente — multiplicando ambas fracciones, 1/3 · 1/2 = 1/6.

Ejemplo guiado

Calcula el volumen del tetraedro de vértices A = (3, 5, 7), B = (1, 0, −1), C = (7, −1, 4), D = (11, 4, −6).

Elegimos B como vértice común, porque produce diferencias más sencillas: BA = (2, 5, 8), BC = (6, −1, 5), BD = (10, 4, −5).

El producto mixto [BA, BC, BD] da como resultado 642.

El volumen del tetraedro es la sexta parte: VABCD = 642/6 = 107 u³.

Error frecuente: olvidar dividir entre 6. El producto mixto proporciona el volumen del paralelepípedo completo — el tetraedro ocupa solo una sexta parte de él.

Cuando el volumen da cero: puntos coplanarios

Igual que un área nula indica puntos alineados, un volumen nulo indica que los cuatro puntos son coplanarios: los tres vectores construidos desde uno de ellos resultan linealmente dependientes.

Ejercicio resuelto

Estudia si los puntos A = (0,0,0), B = (1,0,1), C = (0,1,1), D = (1,1,2) son coplanarios.

Construimos AB = (1,0,1), AC = (0,1,1) y AD = (1,1,2). Observamos que AD = AB + AC — los tres vectores son linealmente dependientes, así que su producto mixto es cero.

Por tanto, los cuatro puntos son coplanarios, y el tetraedro que determinarían tiene volumen nulo.

Todo junto: área, volumen y altura en un mismo ejercicio

Ejercicio resuelto

Sean los puntos A = (1,0,0), B = (3,1,0), C = (2,0,2), D = (1,3,1). Calcula el área del triángulo ABC, el volumen del tetraedro ABCD, y la altura del tetraedro tomando ABC como base.

Área del triángulo ABC. Con AB = (2,1,0) y AC = (1,0,2), el producto vectorial es AB×AC = (2,−4,−1), de módulo √21. El área es A△ABC = √21/2.

Volumen del tetraedro. Con AD = (0,3,1), el producto mixto [AB,AC,AD] da 13. El volumen es VABCD = 13/6.

Altura respecto de la base ABC. Como el volumen de un tetraedro cumple V = (1/3)·Abase·h, despejamos: h = 3V/Abase = (3·13/6)/(√21/2) = 13/√21 = 13√21/21.

Este último cálculo conecta directamente con el artículo de distancias: esa altura es, exactamente, la distancia del punto D al plano que contiene a A, B y C.

La tabla que lo resume todo

Figura	Fórmula	El valor cero significa
Paralelogramo	‖u×v‖	los vectores son paralelos
Triángulo ABC	(1/2)‖AB×AC‖	A, B, C están alineados
Paralelepípedo	|[u,v,w]|	los vectores son coplanarios
Tetraedro ABCD	(1/6)|[AB,AC,AD]|	A, B, C, D son coplanarios

No memorices cuatro fórmulas independientes: hay solo dos herramientas —producto vectorial y producto mixto— y dos factores que no debes olvidar —dividir entre 2 para triángulos, entre 6 para tetraedros—. Y recuerda siempre expresar las unidades correctamente: un área se mide en unidades cuadradas (u²), un volumen en unidades cúbicas (u³) — nunca en unidades lineales.

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