Las dos técnicas básicas para integrales no inmediatas: cambio de variable e integración por partes

Haces un cambio de variable, todo va bien, calculas la nueva integral sin problema... y entregas el resultado en función de 𝑢. El profesor te resta puntos, y con razón: la integral original estaba en función de 𝑥, así que el resultado también tiene que estarlo. Deshacer el cambio no es un paso decorativo al final del ejercicio — es tan parte de la solución como el cálculo mismo. Y es, con diferencia, el paso que más gente se olvida.

Cuándo hace falta algo más que la tabla básica

No todas las integrales encajan directamente en la tabla de integrales inmediatas. Cuando aparece una función compuesta, o un producto de dos funciones de naturaleza distinta, hacen falta técnicas adicionales — y las dos más importantes son el cambio de variable y la integración por partes.

Cambio de variable: la regla de la cadena, al revés

Recuerda la regla de la cadena: (𝐹(𝑔(𝑥)))' = 𝐹'(𝑔(𝑥)) · 𝑔'(𝑥). Si llamamos 𝑓(𝑢) = 𝐹'(𝑢), esa igualdad puede leerse también en sentido inverso, como una fórmula de integración:

En otras palabras: integrar una función compuesta es aplicar la regla de la cadena hacia atrás.

Ejemplo guiado: reconocer el cambio de variable directamente

Calcula ∫2𝑥 cos(𝑥²) 𝑑𝑥.

La función interior es 𝑥², y su derivada, 2𝑥, aparece multiplicando exactamente en el integrando. Como la derivada de sen 𝑢 es cos 𝑢, se obtiene directamente:

∫2𝑥 cos(𝑥²) 𝑑𝑥 = sen(𝑥²) + 𝐶

El factor que falta: ajustar una constante

En muchas integrales aparece la derivada de la función interior, pero multiplicada por una constante distinta a la que necesitas. En esos casos, puedes introducir el factor que falta y compensarlo fuera de la integral.

Ejemplo guiado: compensar una constante

Calcula ∫cos(3𝑥 + 1) 𝑑𝑥.

La derivada de la función interior 3𝑥+1 es 3, y ese factor no aparece en el integrando. Multiplicando y dividiendo por 3:

∫cos(3𝑥+1) 𝑑𝑥 = (1/3) sen(3𝑥+1) + 𝐶

Error frecuente: introducir un factor constante sin compensarlo. Por ejemplo, ∫cos(3𝑥) 𝑑𝑥 no es igual a sen(3𝑥) + 𝐶 — la expresión correcta es (1/3) sen(3𝑥) + 𝐶.

El método de sustitución, explícito y paso a paso

Cuando la estructura de la integral no se reconoce a simple vista, conviene escribir el cambio de forma explícita. El procedimiento tiene siempre seis pasos: elegir la nueva variable 𝑢 = 𝑔(𝑥); calcular su diferencial 𝑑𝑢 = 𝑔'(𝑥)𝑑𝑥; reescribir toda la integral en función de 𝑢; calcular la nueva integral; deshacer el cambio; y comprobar el resultado derivando.

Ejercicio resuelto: cambio de variable completo

Calcula ∫𝑥 cos(𝑥²) 𝑑𝑥.

Eligiendo 𝑢 = 𝑥², se tiene 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, así que 𝑥 𝑑𝑥 = (1/2)𝑑𝑢. Sustituyendo, la integral se transforma en (1/2)∫cos 𝑢 𝑑𝑢, que es inmediata. Deshaciendo el cambio al final:

No deben mezclarse 𝑥 y 𝑢 en una misma integral — toda la expresión debe quedar, en cada momento, escrita completamente en una sola variable.

Dos errores acompañan casi siempre a este método.

El primero: elegir una sustitución cuya derivada no aparece en el integrando — en ∫2𝑥/(1+𝑥⁴) 𝑑𝑥, el cambio correcto es 𝑢 = 𝑥², no 𝑢 = 1+𝑥⁴, porque la derivada de esta última (4𝑥³) no aparece en el numerador.

El segundo, y más repetido: olvidar deshacer el cambio de variable. Si la integral inicial está expresada en función de 𝑥, el resultado final también debe estarlo — nunca se entrega una respuesta en términos de 𝑢.

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Integración por partes: cuando el producto no se puede derivar al revés

Ante una integral de la forma ∫𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥, la fórmula de integración por partes permite transformarla en otra, a menudo más sencilla:

La dificultad está en decidir qué función es 𝑢 y cuál es 𝑑𝑣. Una regla práctica útil consiste en priorizar este orden al elegir 𝑢:

Ejemplo guiado: elegir bien u y dv

Calcula ∫𝑥𝑒ˣ 𝑑𝑥.

Siguiendo el orden de prioridad, la función algebraica 𝑥 va antes que la exponencial: se elige 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑒ˣ𝑑𝑥, de donde 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 = 𝑒ˣ. Aplicando la fórmula y simplificando:

Error frecuente: elegir 𝑢 y 𝑑𝑣 de forma que la nueva integral resulte más complicada que la original. Si en este ejemplo se hubiera elegido 𝑢 = 𝑒ˣ y 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥, la integral resultante habría sido más difícil, no más fácil — la regla de prioridad existe precisamente para evitar esa elección.

Cuando hace falta repetir el proceso

Algunas integrales no se resuelven con una sola aplicación del método. Esto ocurre casi siempre cuando un polinomio multiplica a una exponencial o a una función trigonométrica: hay que derivar el polinomio sucesivamente hasta que desaparezca.

Ejercicio resuelto: integración por partes repetida

Calcula ∫𝑥²𝑒ˣ 𝑑𝑥.

Con 𝑢 = 𝑥² y 𝑑𝑣 = 𝑒ˣ𝑑𝑥, se obtiene 𝑥²𝑒ˣ − 2∫𝑥𝑒ˣ𝑑𝑥. La integral que queda ya la conocemos del ejemplo anterior. Sustituyendo y simplificando:

Error frecuente: detener el procedimiento demasiado pronto. En integrales como ∫𝑥³𝑒ˣ𝑑𝑥, una única aplicación no basta — el método debe repetirse hasta que el polinomio desaparezca por completo.

Integrales cíclicas: cuando la integral original reaparece

En algunas integrales, tras aplicar el método varias veces, reaparece la integral de partida. En ese caso, la tratamos como una incógnita algebraica y la despejamos.

Ejercicio resuelto: resolver una integral cíclica

Calcula ∫𝑒ˣ cos 𝑥 𝑑𝑥.

Llamando 𝐼 a esta integral y aplicando integración por partes dos veces seguidas, se llega a una ecuación donde 𝐼 aparece en ambos lados: 𝐼 = 𝑒ˣ cos 𝑥 + 𝑒ˣ sen 𝑥 − 𝐼. Despejando (sumando 𝐼 a ambos lados y dividiendo entre 2):

Error frecuente: no despejar la integral inicial cuando reaparece. En una integral cíclica, la integral de partida debe tratarse exactamente como una incógnita más de la ecuación — nunca se sigue integrando por partes indefinidamente esperando que "se resuelva sola".

Un último aviso útil: antes de lanzarte a integrar por partes, comprueba si existe un método más directo. ∫cos²𝑥 𝑑𝑥, por ejemplo, se resuelve mucho más rápido con una identidad trigonométrica que con este método.

Resumen

Técnica	Cuándo usarla	Error más común
Cambio de variable	Función compuesta, con su derivada presente en el integrando	Olvidar deshacer el cambio al final
Integración por partes	Producto de funciones de naturaleza distinta	Elegir mal 𝑢 y 𝑑𝑣, complicando la integral
Partes repetida	Polinomio × exponencial o trigonométrica	Detenerse antes de que el polinomio desaparezca
Integral cíclica	La integral original reaparece tras aplicar el método	No despejarla como una incógnita algebraica

Cuando el integrando sea, en cambio, un cociente de polinomios, necesitarás una tercera técnica: la descomposición en fracciones simples.

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