Aproximación de la binomial por la normal: el error de la corrección de continuidad que cuesta puntos
Este es, probablemente, el error más caro de todo el bloque de Distribuciones de probabilidad — no porque sea difícil de evitar, sino porque es fácil de olvidar justo cuando ya crees que has terminado el problema. Vamos a verlo en detalle, con un ejemplo completo de principio a fin.
Por qué una binomial puede parecerse a una normal
Piensa en el número de caras al lanzar una moneda muchas veces, o en el número de piezas defectuosas en una producción grande. Son variables binomiales: discretas, con un número fijo de repeticiones. Pero fíjate en lo que ocurre cuando el número de repeticiones n crece: con n = 5 la distribución apenas tiene unas pocas barras; con n = 10 empieza a suavizarse; con n = 20 ya recuerda claramente a una campana.
Cuanto mayor es n, más se parece la binomial a una distribución normal. Y si se parece tanto, surge una pregunta obligada: ¿podemos usar una normal para aproximar una binomial? La respuesta es sí, y es tremendamente útil, porque calcular probabilidades binomiales exactas con su fórmula para valores grandes de n es muy laborioso. Una normal bien construida da resultados muy precisos con mucho menos esfuerzo.
Cuándo puedes aproximar (y cuándo no)
Esta aproximación no es automática — no siempre es razonable. Si n es pequeño o la probabilidad de éxito está muy cerca de 0 o de 1, la binomial puede ser demasiado asimétrica para parecerse a una campana.
Sea X∼B(n,p) y q = 1 − p. La aproximación es válida cuando se cumplen simultáneamente ambas condiciones. Por ejemplo, en B(20,0.3):
np = 6 > 5
nq = 14 > 5
así que la aproximación es válida.
En cambio, en B(10,0.1)
np=1 < 5
así que la aproximación no es recomendable.
Construir la normal aproximante
Cuando las condiciones se cumplen, la normal que usamos debe tener la misma media y la misma desviación típica que la binomial original:
Por ejemplo, para X∼B(200,0.3):
μ = np =60
σ = raíz(200 ⋅ 0.3 ⋅ 0.7) = raíz(42) ≈ 6.48
Por tanto, X≈N(60,6.48).
El ajuste que casi todo el mundo olvida
Aquí está el punto que da título a este artículo. La binomial es discreta — solo toma valores enteros: 0, 1, 2, 3... La normal es continua — toma cualquier valor dentro de un intervalo. Al pasar de una a otra, hace falta un pequeño ajuste para compensar esa diferencia: la corrección de continuidad.
La idea es simple: cada valor entero se amplía medio punto por la izquierda y medio punto por la derecha. El valor X = 10, en la normal aproximante, pasa a representarse como el intervalo 9.5 < Y < 10.5.
Esto se traduce en cinco reglas que cubren cualquier caso que te vayas a encontrar:
Error frecuente, y el más habitual de toda la unidad: olvidar aplicar esta corrección. Por ejemplo, P(X≥70) no se aproxima por P(Y≥70), sino por P(Y>69.5). Olvidar este ajuste de medio punto no rompe el planteamiento del problema, pero sí cambia el resultado numérico — y en un examen, eso es directamente puntos perdidos por un detalle que se resuelve en una línea.
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Ejemplo completo, paso a paso
La probabilidad de que una pieza fabricada por una máquina sea defectuosa es 0.3. Se seleccionan 200 piezas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan al menos 70 piezas defectuosas?
Paso 1 — Identificar la distribución.
X = número de piezas defectuosas
X∼B(200,0.3)
n = 200
p = 0.3
q = 0.7
Paso 2 — Comprobar que la aproximación es válida.
np = 200 ⋅ 0.3 = 60
nq = 200 ⋅ 0.7 = 140
Como ambos superan 5, podemos aproximar.
Paso 3 — Construir la normal aproximante.
μ = 60
σ = raíz(200 ⋅ 0.3 ⋅ 0.7) = raíz(42) ≈ 6.48
Por tanto, X≈N(60,6.48).
Paso 4 — Aplicar la corrección de continuidad.
Nos piden P(X≥70), que se aproxima por P(Y>69.5).
Paso 5 — Tipificar.
z = (69.5−60) / 6.48 ≈ 1.47
Paso 6 — Usar la tabla.
P(Z<1.47) = 0.9292, así que P(Z>1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708.
Resultado: P(X≥70) ≈ 0.0708, es decir, aproximadamente un 7.08%.
Fíjate en que este procedimiento es siempre el mismo, cambie lo que cambie el enunciado: comprobar condiciones, construir la normal, corregir, tipificar, tabla. Cinco pasos fijos, en ese orden.
El esquema que no falla nunca
Comprobar que np>5 y nq>5.
Construir N(np,raíz(npq))
Aplicar la corrección de continuidad según lo que te pidan.
Tipificar con z = (y−μ) / σ.
Consultar la tabla N(0,1).
Resumen
Paso | Qué haces |
1. Condiciones | np>5 y nq>5 |
2. Normal aproximante | N(np,raíz(npq)) |
3. Corrección de continuidad | Ajustar ±0.5 según la desigualdad |
4. Tipificación | z = (y−μ) / σ |
5. Tabla | Leer P(Z<z) y aplicar el caso correspondiente |
Con este esquema, y sin saltarte nunca el paso 3, cualquier problema de aproximación binomial-normal se resuelve de forma mecánica y fiable.
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