Cómo usar la tabla de la normal N(0,1) sin equivocarte (los 4 casos que necesitas)
Existen infinitas distribuciones normales. N(70,10), N(170,8), N(500,50)... cada una con su propia media y su propia desviación típica. Y sin embargo, en Selectividad, solo se usa una tabla. ¿Cómo es posible que una sola tabla sirva para infinitas distribuciones distintas?
La respuesta es la idea más importante de esta lección, y una vez la entiendes, la tabla deja de ser un objeto misterioso lleno de decimales.
Todas las normales tienen la misma forma
Aunque N(70,10) y N(500,50) parezcan completamente distintas, comparten algo fundamental: la misma forma de campana. La media μ solo desplaza la campana hacia la izquierda o la derecha; la desviación típica σ solo la ensancha o la estrecha. La forma general —simétrica, acampanada, con área total igual a 1— no cambia nunca.
Esto tiene una consecuencia enorme: si conseguimos transformar cualquier distribución normal en una única distribución de referencia, podemos calcular probabilidades de todas ellas con una sola tabla. Esa distribución de referencia es la distribución normal estándar, N(0,1) — la que tiene media 0 y desviación típica 1.
Tipificación: el puente hacia la tabla
Transformar cualquier valor de X∼N(μ,σ) en su equivalente dentro de N(0,1) se llama tipificar, y se hace con esta fórmula:
La tipificación hace dos cosas, en este orden: resta la media (para centrar la distribución en el origen) y divide entre la desviación típica (para que la nueva desviación típica pase a valer 1). El resultado, z, indica cuántas desviaciones típicas se encuentra un valor por encima o por debajo de la media. Si z = 2, el dato está dos desviaciones típicas por encima de la media. Si z = −1.5, está una desviación y media por debajo.
Ejemplo guiado
La estatura de una población sigue X∼N(170,8). ¿Cuál es la puntuación tipificada de una persona que mide 186 cm?
z = (186 − 170) / 8 = 16/8 = 2
Esa persona mide dos desviaciones típicas más que la media.
Otro ejemplo, con valores negativos
Las notas de un examen siguen X∼N(6,1.5). Un alumno saca un 3. Su puntuación tipificada:
z = (3 − 6) / 1.5 = −2
Su nota está dos desviaciones típicas por debajo de la media. La tipificación no cambia ninguna probabilidad — solo cambia la escala con la que medimos los valores. Por eso cualquier problema de N(μ,σ) se puede convertir en un problema equivalente sobre N(0,1).
Qué da exactamente la tabla (y qué no da)
Aquí aparece el primer malentendido serio. La tabla no da la altura de la curva en un punto — da un área acumulada. Concretamente, la tabla te da:
P(Z ≤ z)
es decir, toda el área bajo la curva que queda a la izquierda de z. Para leerla: buscas la parte entera y las décimas de z en la primera columna, las centésimas en la primera fila, y en la intersección obtienes la probabilidad acumulada.
Ejemplo guiado: calcula P(Z ≤ 1.35). Buscas 1.3 en la columna y 0.05 en la fila; en la intersección aparece 0.9115. Es decir, aproximadamente el 91.15% del área de la curva queda a la izquierda de z=1.35.
Error frecuente: la tabla no da directamente la altura de la curva en ese punto, da un área. Todo número que saques de la tabla es siempre una probabilidad acumulada desde el extremo izquierdo, nunca un valor puntual.
Los cuatro casos que cubren prácticamente todo
Con solo estas cuatro situaciones puedes resolver casi cualquier ejercicio de Selectividad sobre la tabla N(0,1):
Caso 1: P(Z<k). Directo
Es el caso más simple: se consulta directamente en la tabla.
P(Z<1.23) = 0.8907
Caso 2: P(Z>k). Complementario
La tabla solo da áreas a la izquierda, así que usamos el suceso complementario:
P(Z>k) = 1 − P(Z<k)
Por ejemplo, P(Z>1.23) = 1 − 0.8907 = 0.1093.
Caso 3: P(a<Z<b). Resta de acumuladas
Para una probabilidad entre dos valores, restamos las dos áreas acumuladas:
P(a<Z<b) = P(Z<b) − P(Z<a)
Por ejemplo, P(0.50<Z<1.23) = 0.8907 − 0.6915 = 0.1992.
Caso 4: valores negativos. Simetría
La curva N(0,1) es simétrica respecto del origen, así que:
P(Z<−a) = P(Z>a)
Por ejemplo, P(Z<−1.23) = P(Z>1.23) = 0.1093 (el mismo resultado que calculamos en el caso 2).
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El criterio para no perderte
Antes de escribir cualquier cálculo, identifica en qué caso estás:
¿Te piden P(Z<k) directo? → tabla, sin más.
¿Te piden P(Z>k)? → complementario: 1−P(Z<k).
¿Te piden algo "entre" dos valores? → resta de dos acumuladas.
¿Aparece un valor negativo? → usa la simetría antes de tocar la tabla.
La inmensa mayoría de los errores en este tema no vienen de leer mal la tabla, sino de aplicar el caso equivocado — normalmente, olvidar el complementario cuando el enunciado pide "más de" en vez de "menos de".
Resumen
Quieres calcular | Fórmula |
P(Z<k) | Directo de la tabla |
P(Z>k) | 1−P(Z<k) |
P(a<Z<b) | P(Z<b)−P(Z<a) |
P(Z<−a) | P(Z>a), por simetría |
Con la tipificación y estos cuatro casos, cualquier distribución normal —sea la que sea su media o su desviación típica— se resuelve exactamente igual.
Esta misma tipificación es, además, el paso previo obligatorio cuando aproximes una distribución binomial por una normal.
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