Probabilidad total y teorema de Bayes: cómo distinguirlos en un examen

Prueba a hacer este ejercicio mental. Lee estas dos preguntas:

• "¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono se averíe?"

• "Sabemos que el teléfono se ha averiado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de una marca concreta?"

Parecen casi la misma pregunta. No lo son. La primera se resuelve con probabilidad total. La segunda, con el teorema de Bayes. Y la mayoría de los puntos que se pierden en Selectividad en este tema no vienen de un error de cálculo, sino de no distinguir cuál de las dos te están preguntando.

Vamos a verlo con calma, una lección detrás de otra, porque Bayes se apoya directamente sobre la probabilidad total.

Por qué necesitamos la probabilidad total

Imagina que conoces la proporción de teléfonos de tres marcas —Punkia, Pijia y Kakia— y también la probabilidad de que un teléfono se averíe dentro de cada marca. Es decir, conoces P(Avería∣Punkia), P(Avería∣Pijia) y P(Avería∣Kakia).

Pero quieres responder a una pregunta distinta: P(Avería), la probabilidad de que un teléfono cualquiera, elegido al azar, se averíe. Para eso necesitas considerar los tres caminos por los que puede producirse una avería —que sea Punkia y se averíe, que sea Pijia y se averíe, o que sea Kakia y se averíe— y sumarlos.

La regla de la probabilidad total

Si A1, A2,…, An​ son sucesos incompatibles dos a dos que cubren todo el espacio muestral (es decir, forman una partición), entonces, para cualquier suceso S:

Idea clave: en un diagrama de árbol, esto se reduce a dos verbos. Multiplicar para recorrer cada camino. Sumar los caminos incompatibles que llegan al mismo resultado.

Ejemplo guiado

Lanzamos un dado. Si sale 1 o 2, extraemos una bola de la urna I. Si sale 3, 4, 5 o 6, extraemos una bola de la urna II.

• Urna I: 6 verdes, 3 rojas, 1 negra.

• Urna II: 2 verdes, 6 rojas, 2 negras.

¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja?

Una bola roja puede obtenerse por dos caminos distintos:

Urna I → Roja, o Urna II → Roja.

Como el dado da:

P(Urna I) = 2/6

P(Urna II) = 4/6

y dentro de cada urna:

P(Roja∣Urna I) = 3/10

P(Roja∣Urna II) = 6/10

entonces:

P(Roja)= 2/6 ⋅ 3/10 + 4/6 ⋅ 6/10 =1/10 + 4/10 = 1/2

Guarda este ejemplo en la cabeza — las mismas urnas van a reaparecer dentro de un momento, cuando le demos la vuelta a la pregunta.

Qué problema resuelve el teorema de Bayes

En la probabilidad total partíamos de una causa conocida (la urna) y calculábamos la probabilidad de un resultado (el color). El teorema de Bayes resuelve exactamente el problema inverso: partimos de un resultado ya observado y queremos averiguar cuál fue la causa más probable.

Esto ocurre constantemente fuera de las matemáticas: un paciente da positivo en una prueba médica y queremos saber la probabilidad de que realmente esté enfermo; se detecta una pieza defectuosa y queremos saber de qué máquina salió; extraemos una bola negra y queremos saber de qué urna procede.

Idea clave: la probabilidad total responde a "¿cuál es la probabilidad de que ocurra este resultado?". El teorema de Bayes responde a "sabemos que ha ocurrido el resultado, ¿cuál fue la causa más probable?".

La fórmula de Bayes

Partiendo de la definición de probabilidad condicionada:

P(A∣S) = P(A∩S) / P(S)​

y sustituyendo P(S) por la probabilidad total, se obtiene la forma general del teorema de Bayes:

Parece intimidante, pero la lectura es sencilla: el numerador es el camino que te interesa. El denominador es la suma de todos los caminos que llegan al resultado observado. En la práctica, casi nunca hace falta memorizar la fórmula completa: basta con calcular la probabilidad total del resultado, calcular la probabilidad conjunta de la causa concreta que te interesa, y dividir una entre otra.

Ejemplo guiado

Retomamos el problema de las urnas. Sabemos que la bola extraída ha sido negra. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la urna II?

Primero, calculamos la probabilidad total de obtener una bola negra (con la prob. total):

P(Negra) = 2/6 ⋅ 1/10 + 4/6 ⋅ 2/10 = 1/30 + 2/15 = 1/6

Ahora aplicamos Bayes, dividiendo el camino que nos interesa (Urna II → Negra) entre la probabilidad total:

P(Urna II∣Negra) = (4/6 ⋅ 2/10) / (1/6) = 2/15 ⋅ 6 = 4/5

Si la bola es negra, la probabilidad de que venga de la urna II es del 80%. Tiene sentido: la urna II tiene proporcionalmente más bolas negras que la urna I, así que observar una bola negra aumenta nuestra confianza en que proceda de ahí.

Error frecuente: confundir P(A∣S) con P(S∣A). En general son probabilidades distintas — de hecho, el teorema de Bayes existe precisamente para relacionar una con la otra, no para usarlas indistintamente.

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Un segundo ejemplo, con cajas

Un dado tiene 4 caras marcadas con la letra A y 2 con la letra B. Lanzamos el dado, elegimos la caja indicada (A o B) y extraemos una bola.

Sabemos que:

P(A) = 2/3

P(B) = 1/3

P(Roja∣A) = 1/2

P(Roja∣B) = 2/5

Si la bola obtenida ha resultado ser roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B?

Primero, la probabilidad total de obtener roja:

P(Roja) = 2/3 ⋅ 1/2 + 1/3 ⋅ 2/5 = 1/3 + 2/15 = 7/15

Y ahora Bayes:

P(B∣Roja) = (1/3 ⋅ 2/5) / (7/15) = 2/15 ⋅ 15/7 = 2/7

El procedimiento es siempre el mismo, cambien las urnas, las cajas, los botes o las máquinas: identificar las causas posibles, calcular la probabilidad total del resultado observado, y dividir el camino que te interesa entre esa probabilidad total.

Cómo distinguirlos en el momento del examen

Este es, con diferencia, el consejo más rentable de toda la unidad. Antes de escribir nada, fíjate en la pregunta:

• Si te preguntan por la probabilidad de que ocurra un resultado — "¿cuál es la probabilidad de que salga...?" — necesitas probabilidad total.

• Si te preguntan por la causa de un resultado que ya se ha observado — "sabiendo que ha salido..., ¿cuál es la probabilidad de que proceda de...?" — necesitas el teorema de Bayes.

Resumen

	Probabilidad total	Teorema de Bayes
Pregunta que responde	¿Qué probabilidad tiene este resultado?	Sabiendo el resultado, ¿cuál fue la causa?
Dirección	Causa → resultado	Resultado → causa
Qué necesitas calcular	Suma de todos los caminos incompatibles	El camino que te interesa, dividido entre la probabilidad total
Herramienta visual	Diagrama de árbol	El mismo diagrama de árbol, leído "hacia atrás"

Los dos teoremas no compiten entre sí — Bayes literalmente se construye sobre la probabilidad total. Dominar uno sin el otro es dominar solo la mitad del procedimiento.

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