Producto escalar, vectorial y mixto: qué pregunta responde cada uno

Multiplicas dos vectores y a veces obtienes un número. Otras veces obtienes otro vector. Y en algún ejercicio con tres vectores, vuelve a salir un número. Si en algún momento has mirado tus apuntes de geometría del espacio y has pensado "espera, ¿por qué esto no da siempre el mismo tipo de resultado?", no es que te hayas perdido una fórmula. Es que estás mezclando tres operaciones distintas que, por casualidad, todas se llaman "producto".

La buena noticia es que cada una responde a una pregunta muy concreta. Una vez sabes qué pregunta responde cada una, dejas de tener que memorizar cuál usar en cada ejercicio — lo deduces.

El producto escalar: ¿qué ángulo forman?

El producto escalar de dos vectores no es un vector. Es un número real. Y ese número está diciéndote algo muy concreto sobre el ángulo que forman:

Por ejemplo, con u = (2, −1, 3) y v = (4, 0, −2):

u·v = 2·4 + (−1)·0 + 3·(−2) = 8 + 0 − 6 = 2

Como el resultado es positivo, ya sabemos que el ángulo entre ambos vectores es agudo — sin necesidad de calcular ni un arco coseno.

El signo del producto escalar clasifica el ángulo antes de calcularlo. Esa es, probablemente, la idea más rentable de toda la lección:

Producto escalar	Ángulo
u·v > 0	agudo
u·v = 0	recto (vectores perpendiculares)
u·v < 0	obtuso

Esto tiene una consecuencia práctica directa: si un ejercicio solo te pregunta si dos vectores son perpendiculares, no hace falta que calcules ningún ángulo — basta con comprobar que u·v = 0. Y si te preguntan si el ángulo es agudo u obtuso, con estudiar el signo ya tienes la respuesta.

Error frecuente: multiplicar entre sí coordenadas que ocupan posiciones distintas. La expresión correcta siempre empareja cada coordenada con la que ocupa su misma posición — u₁v₁, no u₁v₂ ni combinaciones cruzadas.

El producto vectorial: ¿qué dirección es perpendicular a las dos?

Aquí cambia completamente la naturaleza del resultado. El producto vectorial de u y v no es un número: es otro vector, perpendicular simultáneamente a los dos factores.

Se calcula mediante un determinante formal:

Veámoslo con u = (3, −5, 1) y v = (4, 7, 6):

u × v = (−37, −14, 41)

Puedes comprobar que este resultado es perpendicular a ambos factores haciendo el producto escalar con cada uno: en los dos casos da 0. Esa comprobación de unos segundos es justo lo que evita perder puntos por un error de signo.

Error frecuente: olvidar el signo negativo de la segunda componente al desarrollar el determinante. El patrón de signos es siempre +, −, +, y por eso conviene usar directamente la fórmula por coordenadas en lugar de fiarse de memoria del desarrollo.

Lo que hace especialmente útil al producto vectorial no es solo la dirección perpendicular: su módulo también mide un área. Concretamente, el área del paralelogramo que forman los dos vectores:

Con el ejemplo anterior, ‖u×v‖ = √3246, así que el área del paralelogramo es √3246 y la del triángulo, la mitad: √3246 / 2.

Error frecuente: usar directamente ‖u×v‖ como área de un triángulo. Ese valor es el área del paralelogramo completo; para el triángulo hay que dividir entre 2.

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El producto mixto: ¿son coplanarios, y cuánto volumen encierran?

El tercer producto combina los dos anteriores: primero un producto vectorial, después uno escalar. El resultado vuelve a ser un número:

Tomemos u = (−5, 1, 7), v = (4, 7, 3) y w = (1, 0, 4). Desarrollando el determinante por la primera fila se obtiene:

[u,v,w] = −5(28) − (16−3) + 7(0−7) = −140 − 13 − 49 = −202

Este número tiene dos lecturas geométricas, según lo que necesites:

Si el producto mixto es 0, los tres vectores son coplanarios (equivalente a decir que son linealmente dependientes). Y si no es 0, su valor absoluto es directamente el volumen del paralelepípedo que forman.

Con nuestro ejemplo, V = |−202| = 202. El signo depende únicamente del orden en que coloques los vectores — intercambiar dos de ellos cambia el signo del producto mixto, pero nunca su valor absoluto — así que el volumen nunca puede salir negativo. Si alguna vez te da un volumen negativo, el error no está en la geometría: está en olvidar el valor absoluto.

Y si en vez de un paralelepípedo tienes un tetraedro con los mismos tres vectores como aristas desde un vértice común, el volumen es exactamente una sexta parte:

Ese factor 1/6 no es arbitrario: la base triangular tiene la mitad del área del paralelogramo correspondiente, y una pirámide ocupa un tercio del volumen del prisma de igual base y altura. Multiplicando ambas fracciones, ½ · ⅓ = 1/6.

Cuando el ejercicio te da cuatro puntos en lugar de tres vectores, el procedimiento es el mismo: construyes tres vectores con un origen común (por ejemplo, desde el punto A: AB, AC, AD) y calculas su producto mixto. Si da 0, los cuatro puntos son coplanarios; si no, tienes directamente el volumen del paralelepípedo y, dividiendo entre 6, el del tetraedro.

Uno se confunde con el otro más de lo que parece.

Error frecuente: confundir el producto mixto con el producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores es otro vector; el producto mixto de tres vectores es un número. Suena obvio al leerlo aquí, pero es fácil perder de vista cuál de los dos estás calculando en mitad de un ejercicio largo — sobre todo porque el producto mixto se construye literalmente calculando primero un producto vectorial.

La tabla que conecta los tres

	Producto escalar	Producto vectorial	Producto mixto
Entrada	2 vectores	2 vectores	3 vectores
Resultado	un número	un vector	un número
Fórmula	u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃	determinante 3×3 con e₁,e₂,e₃	determinante 3×3 de coordenadas
Para qué sirve	ángulos y perpendicularidad	direcciones perpendiculares y áreas	coplanariedad y volúmenes

La clave para no confundirte en un examen no es memorizar tres procedimientos sueltos: es preguntarte primero qué te están pidiendo. Si el resultado que buscas es un ángulo o una comprobación de perpendicularidad, necesitas un número: producto escalar. Si necesitas una dirección perpendicular a otras dos, o un área, necesitas un vector: producto vectorial. Si te preguntan por coplanariedad o por un volumen, necesitas combinar ambos: producto mixto.

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