Posiciones relativas en el espacio: rectas, planos, y cómo no perderte

En el plano, dos rectas que no son paralelas siempre se cortan en algún punto. Es una de esas verdades que se interiorizan tan pronto que ni se cuestionan. El problema es que, en el espacio, esa verdad deja de serlo: dos rectas pueden no ser paralelas y, aun así, no tener ningún punto en común. No se cortan. Tampoco son paralelas. Simplemente pasan una junto a otra sin tocarse — se cruzan.

Esto no es una rareza aislada de las rectas. La misma lógica de "comparar direcciones primero, resolver la ambigüedad después" se repite cuando comparamos dos planos, y también cuando comparamos una recta con un plano. Una vez entiendes el patrón en un caso, los otros dos caen solos.

Dos rectas: coincidentes, paralelas, secantes o cruzadas

El estudio de dos rectas en el espacio empieza siempre igual: comparando sus vectores directores, antes de mirar ningún punto.

Si los vectores directores son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección — solo pueden ser coincidentes o paralelas distintas. Si no lo son, tienen direcciones distintas — y ahí es donde aparece la sorpresa: pueden ser secantes (se cortan en un punto) o cruzadas (ni se cortan ni son paralelas).

Veamos un caso de rectas cruzadas con números concretos. Tomemos:

r: x = 2−5λ, y = 3+5λ, z = λ

s: x = 1−μ, y = μ, z = 5

Sus vectores directores son d = (−5, 5, 1) y e = (−1, 1, 0), que no son proporcionales. Tomamos un punto de cada recta, P = (2, 3, 0) y Q = (1, 0, 5), y construimos PQ = (−1, −3, 5). El producto mixto [d, e, PQ] da como resultado 4 — distinto de cero. Como los tres vectores no son coplanarios, las rectas se cruzan.

Error frecuente: concluir que dos rectas coinciden únicamente porque sus vectores directores son proporcionales. Eso solo demuestra que tienen la misma dirección — todavía debe comprobarse si comparten algún punto.

Error frecuente: aplicar el producto mixto y concluir directamente que las rectas son secantes cuando da cero, sin haber comprobado antes que las direcciones no son paralelas. Si los vectores directores son paralelos, un producto mixto nulo no distingue entre rectas coincidentes y paralelas — el criterio del producto mixto solo sirve una vez descartado el paralelismo.

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Dos planos: coincidentes, paralelos o secantes

Con los planos el patrón se repite, pero es más simple: solo hay tres posiciones posibles, no cuatro. No existe nada parecido a "cruzarse" para dos planos — si no son paralelos, se cortan en una recta, sin excepción.

La comparación ahora se hace con los vectores normales, no con los directores. Veamos primero un caso de planos paralelos:

π1: x−3y+4z−11 = 0

π2: 4x−12y+16z+40 = 0

Sus normales son n1 = (1,−3,4) y n2 = (4,−12,16). Como n2 = 4·n1, tienen la misma orientación. Pero si multiplicamos toda la ecuación de π1 por 4 obtenemos 4x−12y+16z−44 = 0 — que no coincide con el término independiente de π2 (+40 frente a −44). Los planos son paralelos distintos.

Cuando los normales no son proporcionales, los planos se cortan en una recta, y aquí se reutiliza directamente el producto vectorial del primer artículo del bloque: la dirección de esa recta es n1 × n2. Con π1: x+y+z−1=0 y π2: x−y+z−3=0, los normales n1=(1,1,1) y n2=(1,−1,1) no son proporcionales, así que son secantes, y su producto vectorial da (2,0,−2) — que simplificado es (1,0,−1), la dirección de la recta intersección.

Error frecuente: concluir que dos planos coinciden únicamente porque sus vectores normales son proporcionales. Eso solo indica que tienen la misma orientación — para que coincidan, también deben ser proporcionales los términos independientes.

Recta y plano: contenida, paralela o secante

El tercer caso combina ideas de los dos anteriores: aquí comparamos el vector director de la recta con el vector normal del plano, mediante un producto escalar.

Si d·n es distinto de cero, la recta corta al plano en un único punto — no hay más que discutir. Pero si d·n = 0, la dirección de la recta es paralela al plano, y ahí quedan todavía dos posibilidades: que la recta esté completamente contenida en el plano, o que sea paralela exterior a él. Un único punto de la recta resuelve la duda.

Esto se ve muy bien comparando dos planos casi idénticos con la misma recta:

r: x = 1+λ, y = 2−λ, z = 3+2λ, con d = (1,−1,2)

Con π: x+y−3 = 0, el normal es n = (1,1,0), y d·n = 1−1+0 = 0. Tomamos el punto P=(1,2,3) de la recta y comprobamos: 1+2−3 = 0. El punto sí pertenece al plano, así que la recta está contenida en él.

Con π: x+y−4 = 0 (el mismo plano, desplazado), d·n sigue siendo 0. Pero ahora 1+2−4 = −1, distinto de cero: el punto no pertenece al plano, así que la recta es paralela exterior. Misma dirección, mismo resultado del producto escalar — y aun así, conclusiones completamente distintas, solo por cambiar un punto de sitio.

Error frecuente: concluir que una recta está contenida en un plano únicamente porque d·n = 0. Esa igualdad solo indica que la dirección de la recta es paralela al plano — todavía debe comprobarse si un punto de la recta pertenece a él.

El mismo patrón, tres veces

	Rectas y rectas	Planos y planos	Recta y plano
Se comparan	vectores directores	vectores normales	director y normal
Herramienta	d ∥ e ?	n1 ∥ n2 ?	d·n = 0 ?
Si "sí" hay que comprobar	un punto común	el término independiente	un punto en el plano
Casos posibles	4 (incluye cruzadas)	3	3

La comparación de direcciones —o de orientaciones, en el caso de los planos— divide siempre el problema en dos ramas antes de tocar ningún punto. Eso es lo que hay que interiorizar: no se trata de tres procedimientos distintos, es el mismo movimiento aplicado tres veces. Primero direcciones, después puntos.

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