Variaciones, permutaciones y combinaciones: cómo saber cuál usar sin memorizar fórmulas

Si le preguntas a un alumno de Bachillerato cuál es la fórmula de las combinaciones, seguramente te la recite de memoria. Si le preguntas por qué ese problema en concreto se resuelve con combinaciones y no con variaciones, la mayoría se queda en blanco.

Y ese es exactamente el problema. La combinatoria no falla por desconocer fórmulas — falla por no saber elegir cuál usar. Así que antes de ver una sola fórmula, vamos a resolver lo importante: el criterio.

El error de fondo: memorizar antes de entender

Es muy tentador abrir el libro, ver tres fórmulas parecidas y aprenderlas de carrerilla. El problema es que, en un examen, no te dan la fórmula: te dan un enunciado. Y traducir un enunciado a la fórmula correcta exige entender qué representa cada una, no solo saber aplicarla.

Por eso, en lugar de empezar por las fórmulas, vamos a empezar por las preguntas que hay que hacerse.

Antes de contar, cuenta bien

Toda la combinatoria se apoya en una idea muy simple: si un proceso se realiza en varias etapas, el número total de resultados se obtiene multiplicando las opciones de cada etapa.

Imagina que quieres formar matrículas de coche con 3 letras seguidas de 4 cifras. Para las letras tienes 26 posibilidades en cada una de las 3 posiciones, y para las cifras, 10 posibilidades en cada una de las 4 posiciones. El total de matrículas distintas es:

26^3 x 10^4 = 175760000

Aquí aparece el primer error clásico: muchos alumnos suman las posibilidades en lugar de multiplicarlas. Si una experiencia consta de varias etapas consecutivas, casi siempre hay que multiplicar el número de opciones de cada una, no sumarlas. Sumar tendría sentido si las etapas fueran alternativas entre sí ("elijo A o elijo B"), pero cuando las etapas se dan una detrás de otra, se multiplican.

Este principio —el principio fundamental del recuento— es la base de la que se deducen todas las fórmulas que vienen a continuación. Ninguna variación, permutación o combinación es más que una aplicación particular de esta misma idea.

Las tres preguntas que lo resuelven todo

Antes de aplicar ninguna fórmula, respóndete a estas tres preguntas sobre el problema que tienes delante:

1. ¿Importa el orden? Si cambiar el orden de los elementos produce un resultado distinto, el orden importa.

2. ¿Se permiten repeticiones? ¿Puede un mismo elemento aparecer más de una vez?

3. ¿Se utilizan todos los elementos disponibles, o solo una parte?

Contesta estas tres preguntas primero. La fórmula que necesitas aparece casi sola una vez que sabes las respuestas. Vamos a verlo con un ejemplo de cada caso.

Variaciones: el orden importa, no se repite, no se usan todos

Imagina que quieres formar banderas de tres franjas de colores distintos, eligiendo entre cinco colores disponibles (rojo, azul, verde, amarillo, blanco), sin repetir ningún color.

Aquí el orden importa (una bandera roja-azul-verde es distinta de azul-rojo-verde), no se permiten repeticiones, y no usamos los cinco colores, solo tres. Estamos ante una variación.

Con n = 5 colores disponibles y k = 3 posiciones a rellenar:

V_{5,3} = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 60

Existen 60 banderas distintas posibles.

Error frecuente: muchos alumnos usan combinaciones en un problema donde en realidad el orden importa. Antes de aplicar cualquier fórmula, pregúntate siempre: ¿cambiar el orden produce un resultado diferente? Si la respuesta es sí, nunca son combinaciones.

Variaciones con repetición: el orden importa y sí se repite

Ahora piensa en un código de cuatro cifras, usando los dígitos del 0 al 9, donde sí se permiten repeticiones (como un PIN).

Aquí el orden importa y, a diferencia del caso anterior, cada posición admite las 10 posibilidades sin restricción, porque los dígitos sí pueden repetirse:

VR_{10,4} = 10^4 = 10000

La clave para reconocer este caso es que cada posición se rellena de forma completamente independiente de las anteriores, sin que se agoten opciones.

Permutaciones: el orden importa y se usan todos los elementos

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 5 personas en una fila? Aquí no elegimos una parte del grupo: usamos las 5 personas, y el orden en el que se sientan sí importa.

Las permutaciones son, en realidad, un caso particular de las variaciones en el que se utilizan todos los elementos disponibles:

P_5 = 5! = 120

Existen 120 formas distintas de sentar a las 5 personas.

Combinaciones: el orden no importa

Por último, ¿de cuántas formas puede elegirse un comité de 3 alumnos entre una clase de 10? Aquí el orden no importa: el comité formado por Ana, Bruno y Carla es exactamente el mismo comité que el formado por Carla, Ana y Bruno. No estamos ordenando, estamos seleccionando un grupo.

C_{10,3} = 10!/(3!·7!) = 120

Error frecuente: el fallo más habitual aquí es justo el contrario al de las variaciones: usar variaciones cuando el orden en realidad no importa, contando el mismo grupo varias veces. Un truco útil: si el enunciado usa palabras como "elegir", "seleccionar", "formar un grupo" o "escoger", casi siempre estás ante una combinación.

Tabla resumen: la decisión antes que la fórmula

¿Importa el orden?	¿Se repiten elementos?	¿Se usan todos?	Herramienta
Sí	No	No (solo una parte)	Variaciones
Sí	Sí	—	Variaciones con repetición
Sí	No	Sí (todos)	Permutaciones
No	—	—	Combinaciones

Guarda esta tabla mentalmente en forma de preguntas, no de casillas. El objetivo no es memorizar la tabla, sino automatizar las tres preguntas hasta que las hagas sin pensar.

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El error que resume todos los demás

Si algo hay que recordar de este artículo es esto: la mayoría de errores en combinatoria no vienen de aplicar mal una fórmula, sino de elegir la fórmula equivocada antes de analizar el problema. Memorizar V_{n,k}, P_n o C_{n,k}​ no sirve de nada si no sabes reconocer, leyendo el enunciado, qué situación tienes delante.

Así que la próxima vez que te enfrentes a un problema de recuento, resiste la tentación de buscar la fórmula. Pregúntate primero: ¿importa el orden?, ¿se repiten los elementos?, ¿se usan todos? La fórmula, entonces, aparecerá casi por sí sola.

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