Integración de funciones racionales (y cómo elegir el método correcto)

Te dan una integral con una fracción de polinomios y vas directo a plantear la descomposición en fracciones simples: 𝐴/(𝑥−𝑎) + 𝐵/(𝑥−𝑏)... Pero si numerador y denominador comparten un factor, o si el grado del numerador es mayor que el del denominador, ese planteamiento está condenado desde el principio — la descomposición en fracciones simples solo funciona sobre una fracción ya simplificada y propia.

Antes de descomponer nada, hay tres comprobaciones que hay que hacer siempre, y saltárselas es, con diferencia, la forma más habitual de complicarse la vida con una integral racional.

Antes de descomponer nada: tres comprobaciones obligatorias

1. Simplificar factores comunes. Si numerador y denominador comparten un factor, hay que simplificarlo antes de integrar — a veces esto reduce la integral a algo mucho más simple de lo que parecía.

Ejemplo guiado: simplificar antes de descomponer

Calcula ∫(𝑥²−1)/(𝑥²+𝑥) 𝑑𝑥.

Factorizando, (𝑥²−1)/(𝑥²+𝑥) = (𝑥−1)(𝑥+1) / 𝑥(𝑥+1) = (𝑥−1)/𝑥, simplificando el factor (𝑥+1) común. Separando la fracción resultante, (𝑥−1)/𝑥 = 1 − 1/𝑥, la integral se resuelve de forma inmediata:

2. Comparar los grados. Si el grado del numerador es menor que el del denominador, la fracción es propia y puede intentarse la descomposición directamente. Si no lo es, hay que dividir primero: 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) = 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥)/𝑄(𝑥), donde el resto 𝑅(𝑥) sí tiene grado menor que 𝑄(𝑥).

3. Factorizar el denominador. Una vez que la fracción ya es propia, el denominador se factoriza en alguno de estos tres casos: factores lineales simples, factores lineales repetidos, o factores cuadráticos sin raíces reales — y cada caso exige una descomposición ligeramente distinta.

Factores lineales simples: el caso más habitual

Cuando el denominador se factoriza en raíces reales y distintas, (𝑥−𝑎₁)(𝑥−𝑎₂)···(𝑥−𝑎ₙ), la descomposición adopta esta forma, y cada término genera después una integral logarítmica:

Los coeficientes se calculan igualando numeradores y sustituyendo las raíces del denominador — cuando todos los factores son lineales y distintos, esta sustitución suele ser el camino más rápido.

Ejercicio resuelto: hallar los coeficientes por sustitución

Calcula ∫(𝑥−2)/(𝑥²+𝑥) 𝑑𝑥.

Factorizando el denominador, 𝑥²+𝑥 = 𝑥(𝑥+1), se plantea (𝑥−2)/(𝑥(𝑥+1)) = 𝐴/𝑥 + 𝐵/(𝑥+1), lo que da 𝑥−2 = 𝐴(𝑥+1) + 𝐵𝑥. Sustituyendo 𝑥 = 0 se obtiene 𝐴 = −2; sustituyendo 𝑥 = −1 se obtiene 𝐵 = 3. Integrando cada fracción simple por separado:

Sustituir precisamente las raíces del denominador es lo que hace que cada término de la ecuación desaparezca menos uno — así se despeja cada coeficiente sin resolver un sistema completo.

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Cuando un factor se repite, como (𝑥−𝑎)³, la descomposición debe incluir todas sus potencias: 𝐴/(𝑥−𝑎) + 𝐵/(𝑥−𝑎)² + 𝐶/(𝑥−𝑎)³ — no basta con un único término. Y cuando aparece un factor cuadrático sin raíces reales, el numerador correspondiente ya no puede ser una simple constante, sino una expresión lineal 𝑀𝑥+𝑁, porque el denominador no se puede factorizar más.

Cómo elegir el método: la estrategia general

Con varias técnicas ya disponibles — inmediatas, cambio de variable, integración por partes, fracciones simples —, la pregunta que de verdad importa es por dónde empezar. Conviene seguir siempre este esquema, en este orden:

Paso	Qué comprobar
1. Simplificar	Desarrollar, factorizar, simplificar fracciones, extraer constantes
2. Buscar una inmediata	¿Coincide con alguna fórmula de la tabla básica?
3. Buscar función y derivada	¿Aparece 𝑓(𝑔(𝑥))·𝑔'(𝑥)? → cambio de variable
4. Analizar si hay un producto	¿Una función se simplifica al derivarla? → integración por partes
5. Comprobar si es racional	¿Tiene la forma 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥)? → fracciones simples

Ejemplo guiado: simplificar antes de elegir cualquier método

Calcula ∫(𝑥³+𝑥)/𝑥 𝑑𝑥.

Antes de pensar en ningún método avanzado, simplifica: (𝑥³+𝑥)/𝑥 = 𝑥²+1. La integral se resuelve de forma inmediata, sin cambio de variable ni fracciones simples — simplificar primero habría evitado cualquier complicación innecesaria.

Ejemplo guiado: reconocer una función y su derivada

Calcula ∫𝑥𝑒^(𝑥²) 𝑑𝑥.

Aquí la función interior es 𝑥², y su derivada, 2𝑥, aparece (salvo una constante) en el integrando: la estructura 𝑓(𝑔(𝑥))·𝑔'(𝑥) indica que conviene un cambio de variable, no fracciones simples ni partes.

Este esquema es únicamente orientativo: una misma integral puede admitir varios métodos, y en ocasiones hará falta combinar más de uno.

Cuando hace falta combinar métodos

Algunas integrales no se resuelven con una única técnica — empiezan con una y terminan con otra.

Ejercicio resuelto: cambio de variable seguido de partes

Calcula ∫𝑥 ln(𝑥²+1) 𝑑𝑥.

Con el cambio 𝑢 = 𝑥²+1, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥, la integral se transforma en (1/2)∫ln 𝑢 𝑑𝑢 — pero esta nueva integral no es inmediata: requiere integración por partes. Resolviéndola y deshaciendo el cambio al final:

Los métodos de integración no son compartimentos independientes. Una misma integral puede empezar con una simplificación, continuar con un cambio de variable, y terminar mediante integración por partes.

Resumen

Situación del integrando	Método más probable
Coincide con una fórmula conocida	Integral inmediata
𝑓(𝑔(𝑥))·𝑔'(𝑥)	Cambio de variable
Producto de funciones de distinta naturaleza	Integración por partes
𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥), tras simplificar y comparar grados	Descomposición en fracciones simples
Ninguno de los anteriores resuelve por completo	Combinar dos o más técnicas

Todas estas técnicas de primitivas son la base necesaria para el siguiente paso: calcular integrales definidas y áreas reales.

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