Cómo discutir un sistema con parámetro: Gauss, Rouché-Frobenius y determinantes

30 jul

6 min de lectura

Coge cualquier examen de Selectividad con un sistema de ecuaciones y busca la letra k. Está ahí casi siempre. Y en cuanto aparece, algo cambia en la cabeza del alumno: deja de ver un sistema y empieza a ver un obstáculo.

Pero discutir un sistema no es más difícil que resolverlo. Es, de hecho, casi el mismo procedimiento — y además existen tres caminos distintos para llegar al mismo sitio. Vamos a recorrer los tres, en orden: Gauss, Rouché-Frobenius y determinantes.

Qué significa realmente "discutir" un sistema

Cuando un sistema tiene coeficientes numéricos, hay un único sistema y tu tarea es resolverlo. Pero en cuanto aparece un parámetro, la situación cambia por completo: cada valor del parámetro genera un sistema distinto. No estás resolviendo un problema, estás clasificando una familia entera de problemas.

Un error habitual consiste en pensar que se está estudiando un único sistema. En realidad, cada valor del parámetro define un sistema distinto — y discutir consiste precisamente en determinar, para todos los valores posibles, si ese sistema es compatible determinado (SCD), compatible indeterminado (SCI) o incompatible (SI).

Resolver un sistema consiste en encontrar sus soluciones. Discutir un sistema consiste en averiguar cómo cambian esas soluciones cuando varía el parámetro.

Primer camino: Gauss, pero con letras

La discusión mediante Gauss usa exactamente las mismas transformaciones elementales que ya conoces. La única diferencia es que, al escalonar, en vez de números concretos aparecen expresiones con el parámetro — y en algún momento, un pivote puede depender de él.

Los valores que anulan algún pivote durante el proceso de Gauss reciben el nombre de valores críticos. Son los únicos valores del parámetro que pueden cambiar la naturaleza del sistema.

La estrategia completa:

Escribir la matriz ampliada.
Aplicar Gauss de forma algebraica, sin sustituir el parámetro por números.
Identificar los pivotes que dependen del parámetro.
Calcular los valores que los anulan.
Estudiar cada caso por separado.
Clasificar el sistema en cada uno de ellos.

Ejemplo guiado completo

Discutamos y resolvamos, cuando sea posible, el siguiente sistema:

Sistema de tres ecuaciones con el parámetro k en varios coeficientes

Paso 1. Construimos la matriz ampliada y aplicamos Gauss: restamos a la segunda fila k veces la primera, y a la tercera fila, la primera. Tras escalonar por completo, llegamos a esta matriz:

Matriz ampliada escalonada del sistema, con el pivote 1 menos k

Paso 2. Localizamos el valor crítico. El último pivote es la expresión 1 − k, así que se anula cuando k = 1. Ese es el único valor que merece un estudio aparte.

Caso k ≠ 1. Los tres pivotes son distintos de cero, así que las tres incógnitas quedan determinadas. El sistema es compatible determinado. Resolviendo por sustitución regresiva se obtiene, en función de k:

z = k / (1 − k)
y = k(1 + k)
x = k(3 − k² − 2k + 1) / (1 − k)

Caso k = 1. Sustituyendo k = 1 en la matriz escalonada, la última fila se convierte en 0 = 1: una contradicción. El sistema es, en este caso, incompatible.

k	Tipo de sistema
k ≠ 1	Compatible determinado (SCD)
k = 1	Incompatible (SI)

Error frecuente: sustituir el parámetro por valores concretos demasiado pronto. La estrategia correcta consiste en aplicar primero el método de Gauss de forma algebraica y estudiar los valores críticos únicamente cuando aparezcan durante el proceso.

Un segundo ejemplo para fijar el patrón

Veamos un segundo sistema, esta vez con el parámetro en un único coeficiente:

Sistema de tres ecuaciones con el parámetro k en un único coeficiente

Aplicando Gauss del mismo modo, se llega a una matriz escalonada cuyo último pivote es, directamente, k. El valor crítico es k = 0.

Si k ≠ 0, los tres pivotes son no nulos: el sistema es compatible determinado.
Si k = 0, la última ecuación se reduce a y − z = 0, sin ninguna contradicción: aparece una variable libre, así que el sistema es compatible indeterminado.

Compara este resultado con el del primer ejemplo: allí, el caso crítico llevaba a un sistema incompatible; aquí, a uno indeterminado. El mismo procedimiento puede desembocar en conclusiones distintas — no basta con memorizar "qué pasa cuando el pivote se anula": hay que mirar, en cada caso, si aparece una contradicción o simplemente una fila de ceros sin contradicción.

Segundo camino: el teorema de Rouché-Frobenius

Todo esto tiene también una justificación teórica: el teorema de Rouché-Frobenius. Mientras que Gauss estudia directamente las ecuaciones, este teorema estudia los rangos de dos matrices asociadas al sistema — la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A′.

Criterio de clasificación de sistemas según el teorema de Rouché-Frobenius

Como A′ solo tiene una columna más que A, su rango solo puede quedarse igual o subir en una unidad. Si esa columna añadida no aporta información nueva, los rangos coinciden y el sistema es compatible. Si aporta una dirección realmente nueva, el rango sube y el sistema es incompatible.

Podemos comprobarlo con nuestro primer ejemplo: para k ≠ 1, los tres pivotes son no nulos, así que rg(A) = rg(A′) = 3, que coincide con las tres incógnitas — de ahí el SCD. Para k = 1, rg(A′) = rg(A) + 1, porque aparece la fila (0 0 0 | 1) — de ahí la incompatibilidad. Es la misma conclusión, mirada desde otro ángulo.

Error frecuente: pensar que la igualdad de rangos implica una única solución. Comprobar que rg(A) = rg(A′) solo garantiza que el sistema es compatible. Para saber si la solución es única o hay infinitas, todavía falta comparar ese rango común con el número de incógnitas: si coincide con n, es SCD; si es menor que n, es SCI.

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Tercer camino: discutir mediante determinantes

Cuando el sistema es cuadrado (mismo número de ecuaciones que de incógnitas), existe un atajo que ahorra buena parte del trabajo: el determinante de la matriz de coeficientes.

La idea es sencilla: los valores importantes son aquellos que anulan un determinante. Fuera de esos valores, el tipo de sistema queda decidido de forma inmediata. Si |A| ≠ 0, entonces rg(A) = n, y como la matriz ampliada tiene también n filas, rg(A′) = n. Por tanto rg(A) = rg(A′) = n, y el sistema es compatible determinado — sin necesidad de escalonar nada. Solo cuando |A| = 0 hace falta detenerse a mirar los rangos con más cuidado.

Ejemplo guiado

Discutamos, según el parámetro a, el siguiente sistema:

Sistema simétrico de tres ecuaciones con el parámetro a en la diagonal

Su matriz de coeficientes es:

Matriz de coeficientes cuadrada con el parámetro a en la diagonal principal

Desarrollando el determinante y factorizando se obtiene |A| = (a − 1)²(a + 2). Por tanto, |A| ≠ 0 para todo a distinto de 1 y de −2 — esos dos valores son los únicos que requieren un estudio aparte.

Para a ≠ 1, −2: el sistema es compatible determinado, sin más cálculo.

Caso a = 1. Las tres ecuaciones se convierten en la misma ecuación (x + y + z = 1). Tanto la matriz de coeficientes como la ampliada quedan con rango 1, y como 1 es menor que 3 (el número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado.

Caso a = −2. Sumando las tres ecuaciones se obtiene 0 = 3, una contradicción. El sistema es, en este caso, incompatible.

a	Tipo de sistema
a ≠ 1, −2	Compatible determinado (SCD)
a = 1	Compatible indeterminado (SCI)
a = −2	Incompatible (SI)

Idea clave: que un determinante se anule no determina por sí solo el tipo de sistema. |A| = 0 solo indica que el sistema deja de ser un sistema de Cramer; a partir de ahí hace falta estudiar los rangos (o volver a Gauss) para decidir entre compatible indeterminado e incompatible, tal como acabamos de hacer.

Error frecuente: aplicar directamente la regla de Cramer en cuanto aparece un parámetro. La presencia de un parámetro no garantiza nada por sí sola: antes de usar Cramer hay que comprobar que |A| ≠ 0. Solo en ese caso el sistema es realmente un sistema de Cramer.

Resumen: los tres caminos, uno al lado del otro

Método	Qué mira	Cuándo conviene
Gauss	Los pivotes al escalonar	Siempre funciona; ideal si además quieres resolver el sistema
Rouché-Frobenius	rg(A) frente a rg(A′) y n	Cuando ya conoces los rangos o quieres justificar la compatibilidad sin resolver
Determinantes	Los valores que anulan \|A\|	Sistemas cuadrados: adelanta el SCD sin escalonar

Comparación	Conclusión
rg(A) ≠ rg(A′)	Incompatible (SI)
rg(A) = rg(A′) = n	Compatible determinado (SCD)
rg(A) = rg(A′) < n	Compatible indeterminado (SCI)

Toda discusión de un sistema con parámetro, la hagas por Gauss, por Rouché-Frobenius o por determinantes, se reduce en el fondo a las mismas dos preguntas: ¿coinciden los rangos? Y si coinciden, ¿igualan al número de incógnitas? Domina esas dos preguntas — y sabe qué atajo usar según la forma del sistema — y cualquier discusión con parámetro deja de dar miedo.

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