AB no es BA: los tres errores más caros al operar con matrices

Las matrices se parecen a los números lo suficiente como para tentarte a operar con ellas igual que siempre. Y ahí está el problema: tres suposiciones que das por hechas con números reales dejan de cumplirse en cuanto trabajas con matrices. Vamos a verlas una por una, con números reales delante.

Error 1: sumar matrices sin comprobar la dimensión

Con números, sumar siempre tiene sentido. Con matrices, no. Dos matrices solo pueden sumarse si tienen exactamente la misma dimensión — mismo número de filas y mismo número de columnas — y la suma se realiza elemento a elemento.

Mira estas dos matrices:

A tiene dimensión 2×3. B tiene dimensión 2×2. Como las dimensiones no coinciden, A + B no existe. No es que el resultado sea complicado de calcular: directamente no hay ninguna operación que hacer.

Error frecuente: dos matrices solo pueden sumarse si tienen exactamente el mismo número de filas y columnas. Antes de sumar, comprueba siempre que ambas matrices tienen la misma dimensión — es una condición estricta, no una recomendación.

Error 2: multiplicar sin comprobar que el producto existe

El producto de matrices tiene su propia condición, distinta de la de la suma. El producto AB existe únicamente cuando el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Compara estos dos casos:

• Una matriz 2×3 por una matriz 3×4: como 3 = 3, el producto existe (y el resultado será una matriz 2×4).

• Una matriz 2×3 por una matriz 2×4: como 3 ≠ 2, el producto no existe, por muchas ganas que tengas de multiplicar.

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Error frecuente: el producto AB solo existe cuando el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Muchos errores en los exámenes vienen precisamente de empezar a multiplicar sin haber hecho antes esta comprobación tan simple.

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Error 3: asumir que AB es igual a BA

Este es, con diferencia, el más importante de los tres — y el que más puntos cuesta en Selectividad. Con números reales, el orden de un producto nunca importa: 3 × 5 es lo mismo que 5 × 3. Con matrices, en general, el producto no es conmutativo.

Veámoslo con un ejemplo concreto. Toma estas dos matrices:

Calculando AB obtenemos una matriz. Calculando BA, con las mismas dos matrices, obtenemos otra completamente distinta. No es un caso raro ni un error de cálculo: es lo que ocurre por norma general.

Error frecuente: en general, AB ≠ BA. No cambies el orden de los factores salvo que hayas comprobado expresamente que ambas matrices conmutan. Salvo que el propio enunciado te diga lo contrario (o lo compruebes tú mismo), nunca des por hecho que dos matrices conmutan.

Esto tiene una consecuencia muy práctica: cuando resuelvas ecuaciones matriciales o apliques propiedades, presta siempre atención al orden en el que aparecen las matrices. Cambiar el orden de una multiplicación no es un detalle estético — puede cambiar completamente el resultado.

Por ejemplo, más adelante en la unidad aprenderás a despejar X en ecuaciones del tipo AX = B o XA = B. Parecen casi la misma ecuación, pero no lo son: en la primera, la inversa de A multiplica por la izquierda; en la segunda, por la derecha. Si tratas ambos casos como si fueran intercambiables — apoyándote, sin darte cuenta, en la idea de que AB = BA — el despeje sale mal aunque el resto de los cálculos sean correctos.

Resumen

Error	Regla que lo evita
Sumar sin comprobar dimensión	A + B solo existe si A y B tienen la misma dimensión
Multiplicar sin comprobar dimensión	AB solo existe si columnas de A = filas de B
Asumir que AB = BA	En general, AB ≠ BA — nunca cambies el orden sin comprobarlo

Los tres errores comparten una misma raíz: dar por sentado que las matrices se comportan como los números. La mayoría de los fallos de Selectividad en este bloque no son de cálculo — son de saltarse la comprobación previa antes de operar.

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