Sistemas con parámetro en Selectividad: cómo discutir un sistema paso a paso
- 29 mar
- 3 Min. de lectura
Los sistemas de ecuaciones con parámetro son un ejercicio muy habitual en Selectividad. A primera vista pueden parecer complicados, pero en realidad casi siempre siguen el mismo procedimiento.
La clave está en entender que no estamos resolviendo solo un sistema, sino estudiando cómo cambia el sistema cuando cambia el parámetro.
En este artículo veremos el método paso a paso y resolveremos un ejercicio típico de examen.
En este artículo aprenderás
Qué significa discutir un sistema de ecuaciones
Cómo usar el rango de matrices
Cómo determinar si un sistema es compatible o incompatible
Cómo resolver el sistema cuando depende de un parámetro
Vídeo: sistemas con parámetro explicados paso a paso
1. ¿Qué significa discutir un sistema?
Cuando aparece un parámetro en un sistema, lo que nos piden normalmente es:
determinar para qué valores del parámetro el sistema tiene solución
y para cuáles no tiene solución
Para hacerlo utilizamos el teorema de Rouché-Frobenius, que compara:
el rango de la matriz de coeficientes
el rango de la matriz ampliada
Tipos de sistemas posibles
Según los rangos obtenidos, el sistema puede ser:
Sistema compatible determinado (SCD). Tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado (SCI). Tiene infinitas soluciones.
Sistema incompatible (SI). No tiene solución.
2. Ejemplo típico de Selectividad
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
donde a es un parámetro real.
En este tipo de ejercicio normalmente se piden tres cosas:
1️⃣ Discutir el sistema según el parámetro.
2️⃣ Encontrar las soluciones cuando el sistema es compatible indeterminado.
3️⃣ Resolver el sistema para un valor concreto del parámetro.
Si quieres ver la resolución completa de este ejercicio, te dejo por aquí el vídeo: https://youtu.be/zRS9VWvag_0
Paso 1: matriz de coeficientes
Primero escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.
El objetivo es estudiar el rango de estas matrices según el valor de a.
Paso 2: calcular el determinante
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes.
Si el determinante es distinto de cero, el sistema tiene solución única.
Si el determinante es cero, debemos estudiar los rangos con más detalle.
Este paso nos permite encontrar los valores del parámetro donde el sistema cambia de comportamiento.
Paso 3: analizar los casos
Después de calcular el determinante aparecen dos situaciones posibles:
Caso 1: determinante distinto de cero
El sistema es compatible determinado.
Tiene una única solución.
Caso 2: determinante igual a cero
Aquí el sistema puede ser:
compatible indeterminado
incompatible
Para decidirlo hay que comparar los rangos de las matrices.
3. Resolver el sistema cuando corresponde
Una vez identificado el tipo de sistema, resolvemos usando:
reducción de Gauss
sustitución
o cualquier método equivalente.
En los ejercicios de Selectividad normalmente se pide resolver el sistema solo para un valor concreto del parámetro.
4. Errores típicos en sistemas con parámetro
Hay tres errores muy frecuentes en este tipo de ejercicio.
No estudiar el determinante primero
Muchos estudiantes empiezan a operar sin analizar el determinante. Esto suele complicar mucho el problema.
No comparar los rangos correctamente
El tipo de sistema depende de rg(A) y rg (A*).
Si no se comparan correctamente, la conclusión puede ser incorrecta.
No separar los casos del parámetro
Cuando aparece un parámetro siempre hay que estudiar casos diferentes.
No hacerlo suele llevar a perder puntos.
5. Idea clave
En los sistemas con parámetro lo importante no es resolver rápido.
Lo importante es entender cómo cambia el sistema cuando cambia el parámetro.
Por eso el esquema siempre es:
Cuando entiendes esta lógica, el ejercicio deja de parecer complicado.
6. Ejercicios para practicar
1️⃣ Discute el sistema
según el valor de a.
2️⃣ Determina para qué valores del parámetro el sistema tiene infinitas soluciones.
Cierre
Los sistemas con parámetro pueden parecer difíciles al principio, pero casi siempre siguen el mismo procedimiento.
Cuando entiendes cómo funcionan los rangos de matrices, el ejercicio se vuelve mucho más claro y ordenado.
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