Áreas e integrales en Selectividad: el método que evita errores
- 15 mar
- 3 Min. de lectura
Hay un tipo de ejercicio de integrales en Selectividad que parece fácil… pero en el que muchísima gente se equivoca. Y no suele ser porque la integral sea difícil.
El problema normalmente está en plantear mal el área que estamos midiendo.
Cuando se entiende bien la región, el cálculo suele salir.
Este artículo te explica el método que se repite en casi todos los ejercicios de áreas con integrales en EBAU.
Si todavía no tienes clara la idea de integral, te recomiendo empezar por el artículo sobre estudio completo de una función en Selectividad, porque ahí se conecta la derivada con el cálculo de áreas.
Aquí tienes el vídeo completo donde resolvemos estos ejercicios paso a paso en pizarra:
El método que funciona siempre en problemas de áreas
En la mayoría de ejercicios de Selectividad se puede seguir este orden:
Dibujar la región
Encontrar puntos clave
Separar en tramos si hace falta
Plantear la integral
Calcular
Puede parecer básico, pero saltarse el dibujo suele ser el error número uno.
Tabla resumen del procedimiento
Paso | Qué se hace |
1 | Dibujar la región |
2 | Encontrar puntos importantes |
3 | Separar en tramos |
4 | Plantear la integral |
5 | Calcular el área |
Ejercicio tipo Selectividad 1: área con valor absoluto
Considera la función:
f(x) = x|x − 2|
y la región limitada por:
la gráfica de la función
el eje x
las rectas x = −1 y x = 5
Antes de integrar, lo primero es entender la función.
El valor absoluto cambia el comportamiento de la función
Cuando aparece un valor absoluto, la función suele comportarse de forma distinta según el intervalo.
En este caso el cambio ocurre en:
x = 2
Eso significa que la función debe analizarse por tramos.
Este detalle es fundamental para calcular bien el área.
El dibujo no es opcional
Cuando dibujas la función aparece una información clave:
la función cambia de signo en algunos intervalos
el área no puede calcularse de una sola vez
Por eso se separa el problema en varios tramos.
El área total será la suma de las áreas de cada tramo.
Mira la resolución completa de este ejercicio aquí: https://youtu.be/DEY01PzKiUY
Ejercicio tipo Selectividad 2: área entre dos funciones
Otro ejercicio clásico es el área entre dos curvas.
Por ejemplo:
f(x) = x⁴ − 7x² + 16, g(x) = x²
Aquí el procedimiento cambia ligeramente.
Paso 1: encontrar los puntos de corte
Primero igualamos las funciones:
f(x) = g(x)
Los puntos de corte delimitan la región cuya área queremos calcular.
Paso 2: decidir qué función está arriba
Antes de integrar hay que responder a una pregunta clave:
¿qué función está por encima de la otra?
La fórmula del área entre curvas es:
Área = ∫ (función superior − función inferior)
Si te equivocas en este orden, el resultado será incorrecto aunque integres bien.
Mira la resolución completa de este ejercicio aquí: https://youtu.be/DEY01PzKiUY
Si te cuesta interpretar las gráficas de funciones, te puede ayudar repasar primero el artículo sobre estudio completo de una función en Selectividad.
Tres errores muy comunes en integrales de áreas
Estos errores aparecen constantemente en Selectividad.
Error 1
No hacer el dibujo.
Error 2
No separar el problema en tramos cuando la función cambia de comportamiento.
Error 3
No identificar qué función está por encima de la otra.
En todos los casos el problema no está en integrar, sino en plantear mal el área.
La idea más importante de todo el tema
En problemas de áreas con integrales siempre ocurre lo mismo:
Primero se entiende la región.
Después se plantea la integral.
Y solo entonces se calcula.
Resumen visual
ENTENDER -> PLANTEAR -> CALCULAR
Cómo encaja este tema en el bloque de Análisis
Las integrales no aparecen aisladas.
Se conectan con todo el bloque de análisis:
límites
derivadas
estudio completo de funciones
cálculo de áreas
Cuando estas ideas empiezan a conectarse, las matemáticas dejan de parecer temas sueltos y empiezan a formar un sistema coherente.
Si estás preparando Selectividad y quieres trabajar integrales y áreas con ejercicios reales de examen, puedes escribirme y lo vemos paso a paso.
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